Номер 40.50, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.50, страница 166.

40.50 a) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0;$

В) $0.2^{2x} - 1.2 \cdot 0.2^x + 0.2 > 0;$

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0;$

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x - 7 < 0.$

a) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0$

Данное показательное неравенство сводится к квадратному с помощью замены переменной.
Пусть $t = 3^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Подставим $t$ в исходное неравенство:
$t^2 - 4t + 3 \le 0$.
Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Следовательно, корни:
$t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Графиком функции $y = t^2 - 4t + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше или равны нулю находятся между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решение неравенства для $t$:
$1 \le t \le 3$.
Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t > 0$.
Теперь выполним обратную замену $t = 3^x$:
$1 \le 3^x \le 3$.
Представим числа $1$ и $3$ в виде степеней с основанием $3$:
$3^0 \le 3^x \le 3^1$.
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе от степеней к их показателям знаки неравенства сохраняются:
$0 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Учитывая, что $5^x > 0$ для любого $x$, имеем $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 + 4t - 5 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 4t - 5 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-5$. Корни:
$t_1 = -5$, $t_2 = 1$.
Графиком функции $y = t^2 + 4t - 5$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $t^2 + 4t - 5 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.
$t \le -5$ или $t \ge 1$.
Выполним обратную замену $t = 5^x$, учитывая условие $t > 0$:
1) $5^x \le -5$. Это неравенство не имеет решений, так как показательная функция $5^x$ всегда положительна.
2) $5^x \ge 1$.
Представим $1$ как степень с основанием $5$:
$5^x \ge 5^0$.
Так как основание $5 > 1$, функция $y=5^x$ возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в) $0.2^{2x} - 1.2 \cdot 0.2^x + 0.2 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0.2^x$. Так как $0.2^x > 0$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 - 1.2t + 0.2 > 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 1.2t + 0.2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1.2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.2 = 1.44 - 0.8 = 0.64$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1.2 - \sqrt{0.64}}{2} = \frac{1.2 - 0.8}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1.2 + \sqrt{0.64}}{2} = \frac{1.2 + 0.8}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Парабола $y = t^2 - 1.2t + 0.2$ имеет ветви вверх. Неравенство $t^2 - 1.2t + 0.2 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.
$t < 0.2$ или $t > 1$.
Выполним обратную замену $t = 0.2^x$, учитывая $t > 0$:
1) $0 < 0.2^x < 0.2$.
$0.2^x < 0.2^1$.
Так как основание $0.2 < 1$, показательная функция $y=0.2^x$ убывающая. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$.
2) $0.2^x > 1$.
Представим $1$ как $0.2^0$:
$0.2^x > 0.2^0$.
Так как основание $0.2 < 1$, знак неравенства меняется:
$x < 0$.
Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

г) $(\frac{1}{7})^{2x} + 6 \cdot (\frac{1}{7})^x - 7 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{7})^x$. Учитывая, что $(\frac{1}{7})^x > 0$, имеем $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 + 6t - 7 < 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 + 6t - 7 = 0$.
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -6$, $t_1 \cdot t_2 = -7$. Корни:
$t_1 = -7$, $t_2 = 1$.
Парабола $y = t^2 + 6t - 7$ имеет ветви вверх. Неравенство $t^2 + 6t - 7 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями.
$-7 < t < 1$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем двойное неравенство:
$0 < t < 1$.
Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{7})^x$:
$0 < (\frac{1}{7})^x < 1$.
Неравенство $(\frac{1}{7})^x > 0$ выполняется для любых действительных $x$.
Решим вторую часть неравенства:
$(\frac{1}{7})^x < 1$.
Представим $1$ как $(\frac{1}{7})^0$:
$(\frac{1}{7})^x < (\frac{1}{7})^0$.
Так как основание $\frac{1}{7} < 1$, функция $y=(\frac{1}{7})^x$ убывающая. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.