Номер 40.54, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.54, страница 166.

40.54 a) $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1;$

Б) $0,36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1;$

В) $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 1;$

Г) $\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1.$

а)

Дано показательное неравенство $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 19: $1 = 19^0$.

Получим неравенство $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 19^0$.

Так как основание степени $19 > 1$, то показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\frac{2x-3}{x+2} \ge 0$.

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.
Найдем нули числителя: $2x-3=0 \implies x = 1.5$.
Найдем нули знаменателя (точка разрыва): $x+2=0 \implies x = -2$. Эта точка не входит в область допустимых значений.

Нанесем точки на числовую ось. Точка $x=1.5$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое, а точка $x=-2$ — выколотой.

Определим знаки выражения $\frac{2x-3}{x+2}$ в полученных интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 1.5]$ и $[1.5; +\infty)$.

• При $x > 1.5$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)-3}{2+2} = \frac{1}{4} > 0$. Знак "+".
• При $-2 < x < 1.5$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$. Знак "-".
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{2(-3)-3}{-3+2} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это $(-\infty; -2)$ и $[1.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [1.5; +\infty)$.

б)

Дано показательное неравенство $0.36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 0.36: $1 = 0.36^0$.

Получим неравенство $0.36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 0.36^0$.

Так как основание степени $0.36 < 1$, то показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{7x+1}{2-x} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $7x+1=0 \implies x = -\frac{1}{7}$.
Найдем нули знаменателя: $2-x=0 \implies x = 2$.

Нанесем точки на числовую ось. Обе точки будут выколотыми, так как неравенство строгое.

Определим знаки выражения $\frac{7x+1}{2-x}$ в полученных интервалах $(-\infty; -\frac{1}{7})$, $(-\frac{1}{7}; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{7(3)+1}{2-3} = \frac{22}{-1} < 0$. Знак "-".
• При $-\frac{1}{7} < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{7(0)+1}{2-0} = \frac{1}{2} > 0$. Знак "+".
• При $x < -\frac{1}{7}$ (например, $x=-1$): $\frac{7(-1)+1}{2-(-1)} = \frac{-6}{3} < 0$. Знак "-".

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля (знак "+"). Это $(-\frac{1}{7}; 2)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{7}; 2)$.

в)

Дано показательное неравенство $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 37: $1 = 37^0$.

Получим неравенство $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 37^0$.

Так как основание степени $37 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{5x-9}{x+6} \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $5x-9=0 \implies x = \frac{9}{5} = 1.8$.
Найдем нули знаменателя: $x+6=0 \implies x = -6$.

Нанесем точки на числовую ось. Точка $x=1.8$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x=-6$ — выколотой (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения $\frac{5x-9}{x+6}$ в полученных интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; 1.8]$ и $[1.8; +\infty)$.

• При $x > 1.8$ (например, $x=2$): $\frac{5(2)-9}{2+6} = \frac{1}{8} > 0$. Знак "+".
• При $-6 < x < 1.8$ (например, $x=0$): $\frac{5(0)-9}{0+6} = -\frac{9}{6} < 0$. Знак "-".
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{5(-7)-9}{-7+6} = \frac{-44}{-1} > 0$. Знак "+".

Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Это $(-6; 1.8]$.

Ответ: $x \in (-6; 1.8]$.

г)

Дано показательное неравенство $(\frac{29}{30})^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{29}{30}$: $1 = (\frac{29}{30})^0$.

Получим неравенство $(\frac{29}{30})^{\frac{9x-18}{6-x}} > (\frac{29}{30})^0$.

Так как основание степени $0 < \frac{29}{30} < 1$, то показательная функция является убывающей. Знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$\frac{9x-18}{6-x} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $9x-18=0 \implies x = 2$.
Найдем нули знаменателя: $6-x=0 \implies x = 6$.

Нанесем точки на числовую ось. Обе точки будут выколотыми, так как неравенство строгое.

Определим знаки выражения $\frac{9x-18}{6-x}$ в полученных интервалах $(-\infty; 2)$, $(2; 6)$ и $(6; +\infty)$.

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{9(7)-18}{6-7} = \frac{45}{-1} < 0$. Знак "-".
• При $2 < x < 6$ (например, $x=3$): $\frac{9(3)-18}{6-3} = \frac{9}{3} > 0$. Знак "+".
• При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{9(0)-18}{6-0} = \frac{-18}{6} < 0$. Знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это $(-\infty; 2)$ и $(6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.