Номер 40.60, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.60, страница 167.

Решите неравенство:

40.60 a) $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x - 27} \ge 0;$

б) $\frac{0,2^x - 0,008}{x^2 - 10x + 25} < 0;$

в) $\frac{25 - 0,2^x}{4x^2 - 4x + 1} \le 0;$

г) $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x - 27} \ge 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом: $(x+2)^2$. Знаменатель $3^x - 27$ можно переписать как $3^x - 3^3$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x+2)^2}{3^x - 3^3} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$3^x - 27 \ne 0 \implies 3^x \ne 27 \implies 3^x \ne 3^3 \implies x \ne 3$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нуль числителя: $(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$.

2. Нуль знаменателя: $3^x - 27 = 0 \implies x = 3$.

Выражение в числителе $(x+2)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x+2)^2 \ge 0$ при всех $x$. Оно равно нулю при $x = -2$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.$(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$. При $x = -2$ знаменатель $3^{-2} - 27 = \frac{1}{9} - 27 \ne 0$. Значит, $x = -2$ является решением.

Случай 2: Дробь строго больше нуля. Так как числитель $(x+2)^2$ положителен при $x \ne -2$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был также положителен.
$3^x - 27 > 0 \implies 3^x > 27 \implies 3^x > 3^3$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, $x > 3$.

Объединяя оба случая, получаем решение: $x = -2$ и $x > 3$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup (3, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{0,2^x - 0,008}{x^2 - 10x + 25} < 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель. В числителе $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3 = 0,2^3$. Знаменатель $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом: $(x-5)^2$.

Неравенство принимает вид: $\frac{0,2^x - 0,2^3}{(x-5)^2} < 0$.

ОДЗ: $(x-5)^2 \ne 0 \implies x-5 \ne 0 \implies x \ne 5$.

Знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен при $x \ne 5$.

Поскольку знаменатель дроби положителен на ОДЗ, знак всей дроби совпадает со знаком числителя. Таким образом, неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} 0,2^x - 0,2^3 < 0 \\ x \ne 5 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $0,2^x < 0,2^3$.

Так как основание степени $0,2 < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 3$.

Объединяя с условием $x \ne 5$, получаем решение: $x > 3$ и $x \ne 5$.

Ответ: $x \in (3, 5) \cup (5, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{25 - 0,2^x}{4x^2 - 4x + 1} \le 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель. В числителе $25 = 5^2 = (\frac{1}{5})^{-2} = 0,2^{-2}$. Знаменатель $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом: $(2x-1)^2$.

Неравенство принимает вид: $\frac{0,2^{-2} - 0,2^x}{(2x-1)^2} \le 0$.

ОДЗ: $(2x-1)^2 \ne 0 \implies 2x-1 \ne 0 \implies x \ne \frac{1}{2}$.

Знаменатель $(2x-1)^2$ всегда положителен при $x \ne \frac{1}{2}$.

Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} 0,2^{-2} - 0,2^x \le 0 \\ x \ne \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим первое неравенство: $0,2^{-2} \le 0,2^x$.

Так как основание степени $0,2 < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $-2 \ge x$, то есть $x \le -2$.

Условие $x \ne \frac{1}{2}$ выполняется, так как интервал $(-\infty, -2]$ не содержит точку $\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0$.

Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $(x+3)^2$. Знаменатель $2^x - 4$ можно переписать как $2^x - 2^2$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x+3)^2}{2^x - 2^2} > 0$.

ОДЗ: $2^x - 4 \ne 0 \implies 2^x \ne 4 \implies x \ne 2$.

Неравенство строгое, поэтому дробь не может быть равна нулю. Это означает, что числитель не равен нулю: $(x+3)^2 \ne 0 \implies x \ne -3$.

При $x \ne -3$ числитель $(x+3)^2$ всегда строго положителен.

Чтобы дробь была положительной, необходимо, чтобы знаменатель также был положителен.
$2^x - 4 > 0 \implies 2^x > 4 \implies 2^x > 2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, $x > 2$.

Это решение удовлетворяет условиям $x \ne 2$ и $x \ne -3$.

Ответ: $x \in (2, \infty)$.