Номер 40.62, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.62, страница 167.

40.62 а) $2^{6x - 10} - 9 \cdot 2^{3x - 5} + 8 \le 0;$

б) $5^{2x + 1} - 5^{x + 2} \le 5^x - 5;$

В) $3^{8x + 6} - 10 \cdot 3^{4x + 3} + 9 \ge 0;$

Г) $3^{2x + 2} - 3^{x + 4} < 3^x - 9.$

а) $2^{6x-10} - 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \le 0$

Преобразуем неравенство, заметив, что $6x-10 = 2(3x-5)$.

$(2^{3x-5})^2 - 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{3x-5}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 9t + 8 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - 9t + 8$ направлены вверх, неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями (включительно).

$1 \le t \le 8$

Данный интервал удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 \le 2^{3x-5} \le 8$

Представим 1 и 8 как степени двойки:

$2^0 \le 2^{3x-5} \le 2^3$

Так как основание степени $2 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знаки неравенств:

$0 \le 3x-5 \le 3$

Прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$5 \le 3x \le 8$

Разделим все части на 3:

$\frac{5}{3} \le x \le \frac{8}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$.

б) $5^{2x+1} - 5^{x+2} \le 5^x - 5$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$5^1 \cdot 5^{2x} - 5^2 \cdot 5^x \le 5^x - 5$

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x \le 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x - 5^x + 5 \le 0$

$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

$5t^2 - 26t + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Корни: $t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$; $t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

$\frac{1}{5} \le t \le 5$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{5} \le 5^x \le 5$

$5^{-1} \le 5^x \le 5^1$

Так как основание $5 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$-1 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

в) $3^{8x+6} - 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \ge 0$

Преобразуем неравенство, заметив, что $8x+6 = 2(4x+3)$:

$(3^{4x+3})^2 - 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{4x+3}$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 10t + 9 \ge 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Так как ветви параболы $y = t^2 - 10t + 9$ направлены вверх, неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.

$t \le 1$ или $t \ge 9$.

Оба условия совместимы с ограничением $t > 0$.

Рассмотрим два случая, выполнив обратную замену:

1) $3^{4x+3} \le 1 \implies 3^{4x+3} \le 3^0$. Так как основание $3 > 1$, то $4x+3 \le 0 \implies 4x \le -3 \implies x \le -\frac{3}{4}$.

2) $3^{4x+3} \ge 9 \implies 3^{4x+3} \ge 3^2$. Так как основание $3 > 1$, то $4x+3 \ge 2 \implies 4x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{4}$.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{4}] \cup [-\frac{1}{4}; +\infty)$.

г) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$3^2 \cdot 3^{2x} - 3^4 \cdot 3^x < 3^x - 9$

$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x < 3^x - 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x - 3^x + 9 < 0$

$9 \cdot (3^x)^2 - 82 \cdot 3^x + 9 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$9t^2 - 82t + 9 < 0$

Найдем корни уравнения $9t^2 - 82t + 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$.

Корни: $t_1 = \frac{82 - 80}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$; $t_2 = \frac{82 + 80}{18} = \frac{162}{18} = 9$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями.

$\frac{1}{9} < t < 9$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{9} < 3^x < 9$

$3^{-2} < 3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$-2 < x < 2$

Ответ: $x \in (-2; 2)$.