Номер 41.2, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.2, страница 168.

41.2 a) $\log_4 64 = 3;$

б) $\log_2 4\sqrt{2} = 2,5;$

в) $\log_{0,2} 125 = -3;$

г) $\lg (100 \cdot \sqrt[5]{10}) = 2,2.$

a) Чтобы проверить равенство $ \log_4 64 = 3 $, воспользуемся определением логарифма: $ \log_a b = c $ эквивалентно $ a^c = b $. В данном случае $ a=4 $, $ b=64 $ и $ c=3 $. Проверим, выполняется ли равенство $ 4^3 = 64 $.
Вычисляем степень: $ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 $.
Поскольку $ 64 = 64 $, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

б) Чтобы проверить равенство $ \log_2 4\sqrt{2} = 2,5 $, преобразуем выражение под знаком логарифма $ 4\sqrt{2} $ в степень с основанием 2.
Поскольку $ 4 = 2^2 $ и $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $, то $ 4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} $.
Используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получаем $ 2^{2 + 1/2} = 2^{2,5} $.
Теперь исходное выражение можно переписать как $ \log_2 (2^{2,5}) $.
По свойству логарифма $ \log_a a^x = x $, получаем, что $ \log_2 (2^{2,5}) = 2,5 $.
Следовательно, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

в) Чтобы проверить равенство $ \log_{0,2} 125 = -3 $, воспользуемся определением логарифма. Нам нужно проверить, верно ли, что $ (0,2)^{-3} = 125 $.
Представим основание логарифма 0,2 в виде обыкновенной дроби: $ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.
Теперь возведем эту дробь в степень -3: $ (0,2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} $.
Используя свойство степени $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $, получаем $ (\frac{5}{1})^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 $.
Поскольку $ 125 = 125 $, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.

г) Чтобы проверить равенство $ \lg 100\sqrt[5]{10} = 2,2 $, вспомним, что $ \lg $ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10 ($ \log_{10} $).
Преобразуем выражение под знаком логарифма $ 100\sqrt[5]{10} $ в степень с основанием 10.
Мы знаем, что $ 100 = 10^2 $ и $ \sqrt[5]{10} = 10^{1/5} $.
Тогда $ 100\sqrt[5]{10} = 10^2 \cdot 10^{1/5} $.
По свойству степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получаем $ 10^{2 + 1/5} = 10^{2 + 0,2} = 10^{2,2} $.
Теперь исходное выражение можно переписать как $ \lg(10^{2,2}) = \log_{10}(10^{2,2}) $.
По свойству логарифма $ \log_a a^x = x $, получаем, что $ \log_{10}(10^{2,2}) = 2,2 $.
Следовательно, равенство является верным.
Ответ: равенство верное.