Номер 41.9, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.9, страница 169.

41.9 а) $8^{2 \log_8 3}$,

б) $6^{-3 \log_6 2}$,

в) $3^{4 \log_3 2}$,

г) $5^{-2 \log_5 3}$.

а)

Для решения выражения $8^{2 \log_8 3}$ мы воспользуемся свойством логарифма $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и основным логарифмическим тождеством $b^{\log_b a} = a$.

1. Преобразуем показатель степени, внеся множитель 2 под знак логарифма в качестве степени числа 3: $2 \log_8 3 = \log_8 (3^2) = \log_8 9$.

2. Подставим полученное выражение обратно в исходное: $8^{2 \log_8 3} = 8^{\log_8 9}$.

3. Применим основное логарифмическое тождество: $8^{\log_8 9} = 9$.

Ответ: 9

б)

Для решения выражения $6^{-3 \log_6 2}$ используем те же свойства логарифмов.

1. Преобразуем показатель степени, внеся множитель -3 под знак логарифма в качестве степени числа 2: $-3 \log_6 2 = \log_6 (2^{-3})$.

2. Вычислим значение $2^{-3}$: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

3. Теперь исходное выражение выглядит так: $6^{-3 \log_6 2} = 6^{\log_6 (\frac{1}{8})}$.

4. Применив основное логарифмическое тождество, получаем: $6^{\log_6 (\frac{1}{8})} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в)

Решим выражение $3^{4 \log_3 2}$, используя те же правила.

1. Внесем множитель 4 в показатель степени под логарифмом: $4 \log_3 2 = \log_3 (2^4)$.

2. Вычислим $2^4$: $2^4 = 16$.

3. Подставим обратно в исходное выражение: $3^{4 \log_3 2} = 3^{\log_3 16}$.

4. По основному логарифмическому тождеству: $3^{\log_3 16} = 16$.

Ответ: 16

г)

Решим выражение $5^{-2 \log_5 3}$.

1. Преобразуем показатель степени, используя свойство $n \log_b a = \log_b (a^n)$: $-2 \log_5 3 = \log_5 (3^{-2})$.

2. Вычислим значение $3^{-2}$: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

3. Подставим полученное выражение обратно в исходное: $5^{-2 \log_5 3} = 5^{\log_5 (\frac{1}{9})}$.

4. Применим основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$: $5^{\log_5 (\frac{1}{9})} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$