Номер 41.12, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.12, страница 169.

41.12 a) $ \log_4 x = -\frac{1}{2} $

б) $ \log_{0.125} x = -\frac{2}{3} $

В) $ \log_{32} x = -\frac{4}{5} $

Г) $ \log_{0.01} x = -\frac{3}{2} $

а) Дано уравнение $\log_4 x = -\frac{1}{2}$.

По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это правило к нашему уравнению:

$x = 4^{-\frac{1}{2}}$

Степень с отрицательным показателем означает обратное число, а дробный показатель $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень:

$x = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Дано уравнение $\log_{0,125} x = -\frac{2}{3}$.

По определению логарифма:

$x = 0,125^{-\frac{2}{3}}$

Преобразуем десятичную дробь $0,125$ в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Теперь подставим это значение в выражение для $x$:

$x = \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}$

Отрицательный показатель степени переворачивает дробь:

$x = 8^{\frac{2}{3}}$

Дробный показатель $\frac{2}{3}$ означает извлечение кубического корня и возведение в квадрат:

$x = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: $4$.

в) Дано уравнение $\log_{32} x = -\frac{4}{5}$.

По определению логарифма:

$x = 32^{-\frac{4}{5}}$

Представим основание $32$ как степень числа $2$: $32 = 2^5$.

Подставим это в наше выражение:

$x = (2^5)^{-\frac{4}{5}}$

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$x = 2^{5 \cdot (-\frac{4}{5})} = 2^{-4}$

Вычисляем значение:

$x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

г) Дано уравнение $\log_{0,01} x = -\frac{3}{2}$.

По определению логарифма:

$x = 0,01^{-\frac{3}{2}}$

Представим основание $0,01$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{100}$ или как степень числа $10$, то есть $10^{-2}$. Используем второй вариант:

$x = (10^{-2})^{-\frac{3}{2}}$

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$x = 10^{-2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 10^3$

Вычисляем значение:

$x = 1000$.

Ответ: $1000$.