Номер 41.19, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.19, страница 170.

41.19 а) $4^x - 5 \cdot 2^x \ge -6;$

б) $16^x \le 6 \cdot 4^x - 5;$

в) $9^x - 7 \cdot 3^x < -12;$

г) $9 \cdot 7^x + 14 > -49^x.$

а) $4^x - 5 \cdot 2^x \ge -6$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 6 \ge 0$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 5t + 6 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется при $t \le 2$ или $t \ge 3$.

Объединим это решение с условием $t > 0$:

$\begin{cases} [ \begin{smallmatrix} t \le 2 \\ t \ge 3 \end{smallmatrix} \\ t > 0 \end{cases} \implies \begin{smallmatrix} 0 < t \le 2 \\ t \ge 3 \end{smallmatrix}$

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

1) $0 < 2^x \le 2$. Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решаем $2^x \le 2^1$. Так как основание $2 > 1$, то $x \le 1$.

2) $2^x \ge 3$. Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x \ge \log_2 3$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, 1] \cup [\log_2 3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [\log_2 3, +\infty)$.

б) $16^x \le 6 \cdot 4^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$16^x - 6 \cdot 4^x + 5 \le 0$

Так как $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$, введем замену $t = 4^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 6t + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ ветвями вверх, значит, неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями: $1 \le t \le 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 \le 4^x \le 5$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 4^x \ge 1 \\ 4^x \le 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 4^x \ge 4^0 \\ 4^x \le 5 \end{cases}$

Так как основание $4 > 1$, переходим к неравенствам для показателей:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le \log_4 5 \end{cases}$

Следовательно, $0 \le x \le \log_4 5$.

Ответ: $x \in [0, \log_4 5]$.

в) $9^x - 7 \cdot 3^x < -12$

Перенесем все члены в левую часть:

$9^x - 7 \cdot 3^x + 12 < 0$

Поскольку $9^x = (3^x)^2$, сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем неравенство:

$t^2 - 7t + 12 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 3$, $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 7t + 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется строго между корнями: $3 < t < 4$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Сделаем обратную замену:

$3 < 3^x < 4$

Так как основание $3 > 1$, логарифмируя по основанию 3, получаем:

$\log_3 3 < \log_3(3^x) < \log_3 4$

$1 < x < \log_3 4$

Ответ: $x \in (1, \log_3 4)$.

г) $9 \cdot 7^x + 14 > -49^x$

Перенесем все члены в левую часть:

$49^x + 9 \cdot 7^x + 14 > 0$

Заметим, что $49^x = (7^x)^2$. Сделаем замену $t = 7^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 + 9t + 14 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 9t + 14 = 0$. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.

$t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-9 \pm 5}{2}$

$t_1 = -7$, $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 + 9t + 14$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется при $t < -7$ или $t > -2$.

Учтем ограничение $t > 0$:

$\begin{cases} [ \begin{smallmatrix} t < -7 \\ t > -2 \end{smallmatrix} \\ t > 0 \end{cases} \implies t > 0$

Выполним обратную замену:

$7^x > 0$

Показательная функция $y=a^x$ при $a>0$ всегда положительна. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.