Номер 42.4, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.4, страница 171.

42.4 Сравните с единицей число:

a) $\log_3 41$;

б) $\log_{2.3} 0.1$;

в) $\log_{\frac{1}{7}} 2.6$;

г) $\log_{\sqrt{7}} 0.4$.

Для сравнения логарифма $\log_a b$ с единицей используется следующее правило, основанное на свойствах логарифмической функции $y = \log_a x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Тогда, если аргумент $b > a$, то $\log_a b > \log_a a$, то есть $\log_a b > 1$. Если же $0 < b < a$, то $\log_a b < \log_a a$, то есть $\log_a b < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Тогда, если аргумент $b > a$, то $\log_a b < \log_a a$, то есть $\log_a b < 1$. Если же $0 < b < a$, то $\log_a b > \log_a a$, то есть $\log_a b > 1$.

Применим это правило к каждому случаю.

а) Сравнить $\log_3 41$ с 1.

Основание логарифма $a = 3$, что больше 1 ($a > 1$). Следовательно, логарифмическая функция является возрастающей.

Сравним аргумент $b = 41$ с основанием $a = 3$.

Так как $41 > 3$, то для возрастающей функции выполняется неравенство $\log_3 41 > \log_3 3$.

Поскольку $\log_3 3 = 1$, получаем $\log_3 41 > 1$.

Ответ: $\log_3 41 > 1$.

б) Сравнить $\log_{2.3} 0.1$ с 1.

Основание логарифма $a = 2.3$, что больше 1 ($a > 1$). Следовательно, логарифмическая функция является возрастающей.

Сравним аргумент $b = 0.1$ с основанием $a = 2.3$.

Так как $0.1 < 2.3$, то для возрастающей функции выполняется неравенство $\log_{2.3} 0.1 < \log_{2.3} 2.3$.

Поскольку $\log_{2.3} 2.3 = 1$, получаем $\log_{2.3} 0.1 < 1$.

Ответ: $\log_{2.3} 0.1 < 1$.

в) Сравнить $\log_{\frac{1}{7}} 2.6$ с 1.

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$, что меньше 1 ($0 < a < 1$). Следовательно, логарифмическая функция является убывающей.

Сравним аргумент $b = 2.6$ с основанием $a = \frac{1}{7}$.

Так как $2.6 > \frac{1}{7}$, то для убывающей функции выполняется неравенство с противоположным знаком: $\log_{\frac{1}{7}} 2.6 < \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7}$.

Поскольку $\log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7} = 1$, получаем $\log_{\frac{1}{7}} 2.6 < 1$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{7}} 2.6 < 1$.

г) Сравнить $\log_{\sqrt{7}} 0.4$ с 1.

Основание логарифма $a = \sqrt{7}$. Так как $7 > 1$, то и $\sqrt{7} > 1$ ($a > 1$). Следовательно, логарифмическая функция является возрастающей.

Сравним аргумент $b = 0.4$ с основанием $a = \sqrt{7}$.

Так как $0.4 < \sqrt{7}$ (поскольку $0.4^2=0.16$, а $(\sqrt{7})^2=7$), то для возрастающей функции выполняется неравенство $\log_{\sqrt{7}} 0.4 < \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.

Поскольку $\log_{\sqrt{7}} \sqrt{7} = 1$, получаем $\log_{\sqrt{7}} 0.4 < 1$.

Ответ: $\log_{\sqrt{7}} 0.4 < 1$.