Номер 41.22, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§41. Понятие логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 41.22, страница 170.

41.22 Постройте график функции:

а) $y = \log_x x^2$;

б) $y = 2^{\log_2 x}$;

в) $y = x^{\log_x 2}$;

г) $y = \log_x \frac{1}{x}$.

а) $y = \log_x x^2$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: $x > 0$ и $x \neq 1$. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x^2 > 0$. Это верно для всех $x \neq 0$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$: $y = \log_x x^2 = 2 \log_x x$. Так как для любого $x$ из области определения $\log_x x = 1$, то: $y = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, функция представляет собой константу $y=2$ на всей области определения. Графиком является прямая линия $y=2$, параллельная оси Ox, с выколотой точкой при $x=1$, так как $x=1$ не входит в ОДЗ. Координаты выколотой точки — $(1, 2)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотой точкой $(1, 2)$.

б) $y = 2^{\log_2 x}$

Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$. ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Упростим функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $y = 2^{\log_2 x} = x$.

Функция принимает вид $y=x$ при условии $x > 0$. Графиком является луч, выходящий из начала координат (точка $(0,0)$ выколота), который является биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции — это луч $y=x$ при $x > 0$.

в) $y = x^{\log_x 2}$

Найдем область определения функции. Основание степени $x$ должно быть положительным: $x > 0$. Также $x$ является основанием логарифма, поэтому оно не должно быть равно единице: $x \neq 1$. Аргумент логарифма $2 > 0$, это условие выполняется. ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Упростим функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $y = x^{\log_x 2} = 2$.

Это та же функция, что и в пункте а). Функция представляет собой константу $y=2$ на всей области определения. Графиком является прямая линия $y=2$ с выколотой точкой при $x=1$. Координаты выколотой точки — $(1, 2)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотой точкой $(1, 2)$.

г) $y = \log_x \frac{1}{x}$

Найдем область определения функции. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$. Аргумент логарифма $\frac{1}{x}$ должен быть положительным. Так как $x > 0$, это условие выполняется. ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$ и воспользуемся свойством логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$: $y = \log_x \frac{1}{x} = \log_x (x^{-1}) = -1 \cdot \log_x x$. Поскольку $\log_x x = 1$ для всех $x$ из ОДЗ, получаем: $y = -1$.

Функция является константой $y=-1$ на всей области определения. Графиком является прямая линия $y=-1$, параллельная оси Ox, с выколотой точкой при $x=1$. Координаты выколотой точки — $(1, -1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=-1$ с выколотой точкой $(1, -1)$.