Номер 42.1, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.1, страница 171.

42.1 Найдите значение логарифмической функции $y = \log_2 x$ в указанных точках:

a) $x_1 = 4, x_2 = 8, x_3 = 16;$

в) $x_1 = \frac{1}{8}, x_2 = \frac{1}{32}, x_3 = \frac{1}{128};$

б) $x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}}, x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}};$

г) $x_1 = \sqrt{32}, x_2 = 16 \sqrt{128}.$

Чтобы найти значение логарифмической функции $y = \log_2 x$ в указанных точках, нужно подставить значение $x$ в функцию и вычислить логарифм. Основная идея вычисления логарифма $\log_a b$ — найти такое число $c$, что $a^c = b$. Для этого мы будем представлять аргумент логарифма $x$ в виде степени с основанием 2. Будем использовать свойство логарифма: $\log_a (a^k) = k$.

а)

Для $x_1 = 4$: $y = \log_2 4$. Так как $4 = 2^2$, то $y = \log_2 (2^2) = 2$.
Для $x_2 = 8$: $y = \log_2 8$. Так как $8 = 2^3$, то $y = \log_2 (2^3) = 3$.
Для $x_3 = 16$: $y = \log_2 16$. Так как $16 = 2^4$, то $y = \log_2 (2^4) = 4$.
Ответ: 2; 3; 4.

б)

Для $x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}}$: Сначала упростим выражение для $x_1$.
$x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Представим $x_1$ в виде степени с основанием 2: $x_1 = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{2}{\sqrt{8}}) = \log_2(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2}$.

Для $x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}}$: Упростим выражение, представив числитель и знаменатель в виде степеней с основанием 2.
$x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2^2}{2^{1/2}} = 2^{2 - \frac{1}{2}} = 2^{3/2}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{4}{\sqrt{2}}) = \log_2(2^{3/2}) = \frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$; $\frac{3}{2}$.

в)

Для $x_1 = \frac{1}{8}$: Представим $x_1$ в виде степени с основанием 2: $x_1 = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{1}{8}) = \log_2(2^{-3}) = -3$.
Для $x_2 = \frac{1}{32}$: Представим $x_2$ в виде степени с основанием 2: $x_2 = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{1}{32}) = \log_2(2^{-5}) = -5$.
Для $x_3 = \frac{1}{128}$: Представим $x_3$ в виде степени с основанием 2: $x_3 = \frac{1}{2^7} = 2^{-7}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{1}{128}) = \log_2(2^{-7}) = -7$.
Ответ: -3; -5; -7.

г)

Для $x_1 = \sqrt{32}$: Представим $x_1$ в виде степени с основанием 2.
$x_1 = \sqrt{32} = \sqrt{2^5} = (2^5)^{1/2} = 2^{5/2}$.
Тогда $y = \log_2(\sqrt{32}) = \log_2(2^{5/2}) = \frac{5}{2}$.

Для $x_2 = 16\sqrt{128}$: Представим множители в виде степеней с основанием 2.
$x_2 = 16 \cdot \sqrt{128} = 2^4 \cdot \sqrt{2^7} = 2^4 \cdot (2^7)^{1/2} = 2^4 \cdot 2^{7/2}$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$x_2 = 2^{4 + \frac{7}{2}} = 2^{\frac{8}{2} + \frac{7}{2}} = 2^{15/2}$.
Тогда $y = \log_2(16\sqrt{128}) = \log_2(2^{15/2}) = \frac{15}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$; $\frac{15}{2}$.