Номер 42.7, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.7, страница 171.

42.7 Исследуйте функцию на монотонность:

а) $y = \log_{2.6} x;$

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x;$

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x;$

г) $y = \log_{0.9} x.$

Для исследования логарифмической функции вида $y = \log_a x$ на монотонность, необходимо проанализировать ее основание $a$. Область определения всех представленных функций — $x > 0$.

Свойство монотонности логарифмической функции:

• Если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей на всей области определения $(0; +\infty)$.
• Если $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей на всей области определения $(0; +\infty)$.

а) $y = \log_{2,6} x$

В данной функции основание логарифма $a = 2,6$.

Так как $a = 2,6 > 1$, то функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x$

В данной функции основание логарифма $a = \frac{3}{4}$.

Так как $a = \frac{3}{4} = 0,75$, и $0 < 0,75 < 1$, то функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

В данной функции основание логарифма $a = \sqrt{5}$.

Оценим значение основания: поскольку $4 < 5$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, что означает $2 < \sqrt{5}$. Следовательно, основание $a = \sqrt{5} > 1$.

Так как основание больше 1, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

г) $y = \log_{0,9} x$

В данной функции основание логарифма $a = 0,9$.

Так как $0 < 0,9 < 1$, то функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.