Номер 42.12, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.12, страница 172.

42.12 a) $y = 3 \log_4 x;$

б) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x;$

в) $y = 5 \log_8 x;$

г) $y = \frac{1}{2} \log_{0.5} x.$

а) Дана функция $y = 3\log_4 x$. Задача состоит в том, чтобы представить эту функцию в виде логарифма по новому основанию, то есть в форме $y = \log_b x$.
Воспользуемся свойством логарифма: $k \cdot \log_a c = \log_{a^{1/k}} c$. Это свойство позволяет "перенести" коэффициент перед логарифмом в его основание.
В данном случае коэффициент $k=3$ и основание $a=4$.
Найдем новое основание $b$ по формуле $b = a^{1/k}$:
$b = 4^{1/3} = \sqrt[3]{4}$.
Таким образом, исходная функция может быть записана как:
$y = \log_{\sqrt[3]{4}} x$.
Ответ: $y = \log_{\sqrt[3]{4}} x$.

б) Дана функция $y = 2\log_{\frac{1}{3}} x$. Аналогично пункту а), применим свойство $k \cdot \log_a c = \log_{a^{1/k}} c$.
Здесь коэффициент $k=2$, а основание $a=\frac{1}{3}$.
Найдем новое основание $b$:
$b = a^{1/k} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, функция принимает вид:
$y = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x$.
Ответ: $y = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x$.

в) Дана функция $y = 5\log_8 x$. Используем то же свойство $k \cdot \log_a c = \log_{a^{1/k}} c$.
В этом примере коэффициент $k=5$, а основание $a=8$.
Вычислим новое основание $b$:
$b = a^{1/k} = 8^{1/5} = \sqrt[5]{8}$.
Таким образом, получаем:
$y = \log_{\sqrt[5]{8}} x$.
Ответ: $y = \log_{\sqrt[5]{8}} x$.

г) Дана функция $y = \frac{1}{2}\log_{0.5} x$. Снова применяем свойство $k \cdot \log_a c = \log_{a^{1/k}} c$.
Здесь коэффициент $k=\frac{1}{2}$, а основание $a=0.5$.
Найдем новое основание $b$:
$b = a^{1/k} = (0.5)^{1/(1/2)} = (0.5)^2 = 0.25$.
Следовательно, функция может быть записана как:
$y = \log_{0.25} x$.
Ответ: $y = \log_{0.25} x$.