Номер 42.19, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.19, страница 173.

42.19 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -3x + 3, & \text{если } x \le 1, \\ \log_{\frac{1}{3}} x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-8), f(-6), f(0), f(3), f(9)$;

б) постройте график функции;

в) прочитайте график функции.

a) Вычислите $f(-8)$, $f(-6)$, $f(0)$, $f(3)$, $f(9)$;

Данная функция является кусочно-заданной. Для вычисления ее значения при конкретном значении аргумента $x$, нужно сначала определить, какому из двух промежутков, $(-\infty, 1]$ или $(1, +\infty)$, принадлежит этот аргумент.

- Для $x = -8$: так как $-8 \le 1$, используем первую формулу $f(x) = -3x + 3$.
$f(-8) = -3 \cdot (-8) + 3 = 24 + 3 = 27$.

- Для $x = -6$: так как $-6 \le 1$, используем первую формулу.
$f(-6) = -3 \cdot (-6) + 3 = 18 + 3 = 21$.

- Для $x = 0$: так как $0 \le 1$, используем первую формулу.
$f(0) = -3 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$.

- Для $x = 3$: так как $3 > 1$, используем вторую формулу $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$.
$f(3) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$, так как $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$.

- Для $x = 9$: так как $9 > 1$, используем вторую формулу.
$f(9) = \log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$, так как $(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$.

Ответ: $f(-8) = 27$, $f(-6) = 21$, $f(0) = 3$, $f(3) = -1$, $f(9) = -2$.

б) постройте график функции;

График функции $y=f(x)$ состоит из двух частей, соответствующих двум разным формулам на разных участках оси $x$.
1. На промежутке $x \in (-\infty, 1]$ график функции совпадает с графиком линейной функции $y = -3x + 3$. Это луч. Для его построения найдем координаты двух точек. Крайняя точка луча соответствует $x=1$, ее ордината $y = -3(1) + 3 = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику. Возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, получим $y = -3(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$ также принадлежит графику.
2. На промежутке $x \in (1, +\infty)$ график совпадает с графиком логарифмической функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, функция убывает на этом промежутке. Найдем несколько точек для построения: при $x=3$, $y=\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$ (точка $(3, -1)$); при $x=9$, $y=\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$ (точка $(9, -2)$).
Так как значение функции в точке $x=1$ для первой части ($y=0$) совпадает с пределом функции для второй части при $x \to 1^+$ ($\lim_{x \to 1^+} \log_{\frac{1}{3}} x = 0$), то график функции является непрерывной линией.

Ответ: График функции построен выше.

в) прочитайте график функции.

Основные свойства функции $y=f(x)$ на основе ее графика и определения:
1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: функция принимает все действительные значения. $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: график пересекает ось абсцисс в одной точке. $f(x)=0$ при $x=1$.
4. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x)>0$ (график выше оси $x$) при $x \in (-\infty; 1)$;
- $f(x)<0$ (график ниже оси $x$) при $x \in (1; +\infty)$.
5. Монотонность: функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
7. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
8. Экстремумы: так как функция строго монотонна, она не имеет точек локального максимума или минимума.
9. Ограниченность: функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.