Номер 42.21, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.21, страница 173.

42.21 Решите уравнение:

а) $log_3x = 4 - x$;

б) $log_{\frac{1}{2}}x = x + \frac{1}{2}$;

в) $log_5x = 6 - x$;

г) $log_{\frac{1}{3}}x = x + \frac{2}{3}$.

а) $\log_3 x = 4 - x$

Данное уравнение является трансцендентным, и для его решения используется метод анализа свойств функций. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x > 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

$y_1 = \log_3 x$ — логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$).

$y_2 = 4 - x$ — линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она является строго убывающей на всей числовой прямой.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.

При $x = 3$:

Левая часть: $\log_3 3 = 1$.

Правая часть: $4 - 3 = 1$.

Так как $1 = 1$, значение $x=3$ является корнем уравнения. Поскольку корень единственный, других решений нет.

Ответ: $3$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = x + \frac{1}{2}$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая с основанием $\frac{1}{2}$ ($0 < \frac{1}{2} < 1$), поэтому она является строго убывающей на области определения $x > 0$.

Функция $y_2 = x + \frac{1}{2}$ — линейная функция, она является строго возрастающей.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора. Попробуем подставить $x = \frac{1}{2}$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Левая и правая части равны, значит $x = \frac{1}{2}$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\log_5 x = 6 - x$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = \log_5 x$ (строго возрастающая, так как основание $5 > 1$) и $y_2 = 6 - x$ (строго убывающая).

Так как одна функция возрастает, а другая убывает, уравнение имеет не более одного решения.

Найдем его подбором. Проверим $x=5$:

Левая часть: $\log_5 5 = 1$.

Правая часть: $6 - 5 = 1$.

Равенство $1=1$ верное, значит $x = 5$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $5$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ (строго убывающая, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$) и $y_2 = x + \frac{2}{3}$ (строго возрастающая).

Уравнение имеет не более одного корня.

Найдем его подбором. Проверим $x=\frac{1}{3}$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3}) = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Равенство $1=1$ верное, значит $x = \frac{1}{3}$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $\frac{1}{3}$.