Номер 42.24, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.24, страница 174.

Решите неравенство:

42.24 а) $ \log_6 x \ge 2; $

б) $ \log_{0,1} x > 3; $

в) $ \log_9 x \le \frac{1}{2}; $

г) $ \log_{\frac{4}{5}} x < 3. $

а)

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$.
2. Решим неравенство $\log_6 x \ge 2$. Основание логарифма $6$ больше 1, следовательно, логарифмическая функция $y = \log_6 x$ является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
Представим правую часть неравенства как логарифм с основанием 6: $2 = \log_6 6^2 = \log_6 36$.
Получаем неравенство: $\log_6 x \ge \log_6 36$.
Отсюда следует, что $x \ge 36$.
3. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговое решение $x \ge 36$.
Ответ: $[36; +\infty)$.

б)

1. ОДЗ для неравенства $\log_{0,1} x > 3$ определяется условием $x > 0$.
2. Основание логарифма $0,1$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция $y = \log_{0,1} x$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
Представим правую часть: $3 = \log_{0,1} (0,1)^3 = \log_{0,1} 0,001$.
Получаем неравенство: $\log_{0,1} x > \log_{0,1} 0,001$.
Отсюда следует, что $x < 0,001$.
3. Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговый интервал $0 < x < 0,001$.
Ответ: $(0; 0,001)$.

в)

1. ОДЗ для неравенства $\log_9 x \le \frac{1}{2}$ определяется условием $x > 0$.
2. Основание логарифма $9$ больше 1, значит, функция $y = \log_9 x$ является возрастающей. Знак неравенства при потенцировании сохраняется.
Представим правую часть: $\frac{1}{2} = \log_9 9^{\frac{1}{2}} = \log_9 \sqrt{9} = \log_9 3$.
Получаем неравенство: $\log_9 x \le \log_9 3$.
Отсюда следует, что $x \le 3$.
3. Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение $0 < x \le 3$.
Ответ: $(0; 3]$.

г)

1. ОДЗ для неравенства $\log_{\frac{4}{5}} x < 3$ определяется условием $x > 0$.
2. Основание логарифма $\frac{4}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, значит, функция $y = \log_{\frac{4}{5}} x$ является убывающей. Знак неравенства при потенцировании меняется на противоположный.
Представим правую часть: $3 = \log_{\frac{4}{5}} (\frac{4}{5})^3 = \log_{\frac{4}{5}} \frac{64}{125}$.
Получаем неравенство: $\log_{\frac{4}{5}} x < \log_{\frac{4}{5}} \frac{64}{125}$.
Отсюда следует, что $x > \frac{64}{125}$.
3. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), итоговое решение $x > \frac{64}{125}$.
Ответ: $(\frac{64}{125}; +\infty)$.