Номер 42.27, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§42. Функция у = log a x, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 42.27, страница 174.

42.27 Решите неравенство:

a) $\log_{3}x \leq 4 - x;$

б) $\log_{\frac{1}{2}}x < x + \frac{1}{2};$

в) $\log_{5}x \geq 6 - x;$

г) $\log_{\frac{1}{3}}x > x + \frac{2}{3}.$

а) $\log_3 x \le 4 - x$

Данное неравенство является трансцендентным и решается с помощью анализа свойств функций, стоящих в левой и правой частях.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = 4 - x$.

3. Проанализируем монотонность функций.

• Функция $f(x) = \log_3 x$ является логарифмической с основанием $3 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения.
• Функция $g(x) = 4 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой прямой.

4. Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:
$\log_3 x = 4 - x$
Методом подбора легко найти корень. Проверим $x=3$:
$\log_3 3 = 1$
$4 - 3 = 1$
Так как $1=1$, то $x=3$ является единственным корнем уравнения.

5. Вернемся к неравенству $\log_3 x \le 4 - x$.
При $x=3$ левая и правая части равны.
При $x > 3$, так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, будет выполняться $f(x) > f(3)$ и $g(x) < g(3)$, то есть $\log_3 x > 4 - x$.
При $0 < x < 3$, так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, будет выполняться $f(x) < f(3)$ и $g(x) > g(3)$, то есть $\log_3 x < 4 - x$.
Нам нужно найти решения для $\log_3 x \le 4 - x$. Это выполняется при $0 < x \le 3$.

Ответ: $(0, 3]$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x + \frac{1}{2}$.

3. Анализ монотонности:

• Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ является логарифмической с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она строго убывает.
• Функция $g(x) = x + \frac{1}{2}$ является линейной с угловым коэффициентом $1$, следовательно, она строго возрастает.

4. Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$.
Так как одна функция убывает, а другая возрастает, у уравнения может быть не более одного корня.
Подберем корень. Попробуем $x = \frac{1}{2}$:
$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
Так как $1=1$, то $x=\frac{1}{2}$ — единственный корень.

5. Решаем неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$.
При $x = \frac{1}{2}$ части равны.
При $x > \frac{1}{2}$, так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, будет выполняться $f(x) < f(\frac{1}{2})$ и $g(x) > g(\frac{1}{2})$, то есть $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$.
При $0 < x < \frac{1}{2}$, будет выполняться $\log_{\frac{1}{2}} x > x + \frac{1}{2}$.
Следовательно, решение неравенства — это $x > \frac{1}{2}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

в) $\log_5 x \ge 6 - x$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_5 x$ (возрастающая, т.к. основание $5 > 1$) и $g(x) = 6 - x$ (убывающая).

3. Найдем единственную точку пересечения из уравнения $\log_5 x = 6 - x$.
Подбором находим, что $x=5$ является корнем:
$\log_5 5 = 1$
$6 - 5 = 1$
Равенство верно.

4. Решаем неравенство $\log_5 x \ge 6 - x$.
При $x=5$ достигается равенство.
При $x > 5$, так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, будет $f(x) > g(x)$, то есть $\log_5 x > 6-x$.
При $0 < x < 5$, будет $\log_5 x < 6-x$.
Нас интересует случай "больше или равно", что выполняется при $x \ge 5$.

Ответ: $[5, +\infty)$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ (убывающая, т.к. основание $0 < \frac{1}{3} < 1$) и $g(x) = x + \frac{2}{3}$ (возрастающая).

3. Найдем единственную точку пересечения из уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$.
Подберем корень. Попробуем $x = \frac{1}{3}$:
$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$
$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$
Равенство верно, значит $x = \frac{1}{3}$ — корень.

4. Решаем неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$.
При $x = \frac{1}{3}$ части равны.
При $x > \frac{1}{3}$, так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, будет $f(x) < g(x)$, то есть $\log_{\frac{1}{3}} x < x + \frac{2}{3}$.
При $0 < x < \frac{1}{3}$, будет $f(x) > g(x)$, то есть $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$.
Решение неравенства — это $0 < x < \frac{1}{3}$.

Ответ: $(0, \frac{1}{3})$.