Номер 43.5, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.5, страница 175.

43.5 a) $ (3 \lg 2 - \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27); $

б) $ (\log_3 2 + 3 \log_3 0,25) : (\log_3 28 - \log_3 7). $

a) $(3\lg 2 - \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27)$

Для решения этого примера воспользуемся следующими свойствами логарифмов:

• Свойство степени: $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$
• Свойство частного: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$
• Свойство произведения: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое): $3\lg 2 - \lg 24$.

Используя свойство степени, преобразуем первый член: $3\lg 2 = \lg (2^3) = \lg 8$.

Теперь выражение принимает вид: $\lg 8 - \lg 24$.

Используя свойство частного, получаем: $\lg 8 - \lg 24 = \lg \frac{8}{24} = \lg \frac{1}{3}$.

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель): $\lg 3 + \lg 27$.

Используя свойство произведения, получаем: $\lg 3 + \lg 27 = \lg (3 \cdot 27) = \lg 81$.

3. Выполним деление полученных выражений:

$\frac{\lg \frac{1}{3}}{\lg 81}$

Представим аргументы логарифмов как степени числа 3:

$\lg \frac{1}{3} = \lg(3^{-1}) = -1 \cdot \lg 3 = -\lg 3$

$\lg 81 = \lg(3^4) = 4 \cdot \lg 3$

Подставим эти значения обратно в дробь:

$\frac{-\lg 3}{4\lg 3}$

Сокращаем дробь на $\lg 3$ (так как $\lg 3 \neq 0$):

$\frac{-1}{4} = -0,25$

Ответ: $-0,25$

б) $(\log_3 2 + 3\log_3 0,25) : (\log_3 28 - \log_3 7)$

Используем те же свойства логарифмов.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое): $\log_3 2 + 3\log_3 0,25$.

Сначала представим десятичную дробь $0,25$ в виде степени числа 2: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Подставим это в выражение: $\log_3 2 + 3\log_3 (2^{-2})$.

Используя свойство степени логарифма, преобразуем второй член: $3\log_3 (2^{-2}) = 3 \cdot (-2) \log_3 2 = -6\log_3 2$.

Теперь все выражение в скобках равно: $\log_3 2 - 6\log_3 2 = (1-6)\log_3 2 = -5\log_3 2$.

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель): $\log_3 28 - \log_3 7$.

Используя свойство частного логарифмов, получаем: $\log_3 28 - \log_3 7 = \log_3 \frac{28}{7} = \log_3 4$.

Представим 4 как степень числа 2: $\log_3 4 = \log_3 (2^2) = 2\log_3 2$.

3. Выполним деление полученных выражений:

$\frac{-5\log_3 2}{2\log_3 2}$

Сокращаем дробь на $\log_3 2$ (так как $\log_3 2 \neq 0$):

$-\frac{5}{2} = -2,5$

Ответ: $-2,5$