Номер 43.8, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.8, страница 175.

43.8 a) Известно, что $\log_6 42 = b$. Найдите $\log_6 7$.

б) Известно, что $\log_7 35 = n$. Найдите $\log_7 5$.

а)

По условию нам дано, что $log_6 42 = b$. Требуется найти значение $log_6 7$.
Для решения этой задачи мы воспользуемся основными свойствами логарифмов. В частности, свойством логарифма произведения, которое гласит: $log_a(xy) = log_a x + log_a y$.
Представим число 42 в виде произведения, где один из множителей равен основанию логарифма, то есть 6.
$42 = 6 \cdot 7$
Теперь подставим это произведение в исходное выражение:
$log_6(6 \cdot 7) = b$
Применим свойство логарифма произведения:
$log_6 6 + log_6 7 = b$
По определению логарифма, $log_a a = 1$. Следовательно, $log_6 6 = 1$.
Подставив это значение в наше уравнение, получаем:
$1 + log_6 7 = b$
Чтобы найти $log_6 7$, выразим его из этого уравнения, перенеся 1 в правую часть с противоположным знаком:
$log_6 7 = b - 1$
Ответ: $log_6 7 = b - 1$.

б)

По условию нам дано, что $log_7 35 = n$. Требуется найти значение $log_7 5$.
Решение аналогично предыдущему пункту. Используем свойство логарифма произведения: $log_a(xy) = log_a x + log_a y$.
Представим число 35 в виде произведения, где один из множителей равен основанию логарифма, то есть 7.
$35 = 7 \cdot 5$
Подставим это произведение в исходное выражение:
$log_7(7 \cdot 5) = n$
Используя свойство логарифма произведения, раскроем скобки:
$log_7 7 + log_7 5 = n$
Так как логарифм числа по тому же основанию равен единице ($log_a a = 1$), то $log_7 7 = 1$.
Получаем уравнение:
$1 + log_7 5 = n$
Выразим искомое значение $log_7 5$:
$log_7 5 = n - 1$
Ответ: $log_7 5 = n - 1$.