Номер 43.10, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.10, страница 175.

43.10 а) $\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4}$;

б) $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5}$;

в) $\log_3 81 : \log_{0,5} 2 \cdot \log_5 125$;

г) $\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0,3} \sqrt{0,3} : \lg 10\sqrt{0,1}$.

а) $\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4}$

Для решения данного выражения вычислим значение каждого логарифма по отдельности, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$ и основное логарифмическое тождество $\log_a a = 1$.

1. Вычислим $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$.
$\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} \log_2 2 = -2 \cdot 1 = -2$.

2. Вычислим $\log_3 9$. Представим 9 как степень 3: $9 = 3^2$.
$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2$.

3. Вычислим $\log_4 \frac{1}{4}$. Представим $\frac{1}{4}$ как степень 4: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.
$\log_4 \frac{1}{4} = \log_4 4^{-1} = -1 \log_4 4 = -1 \cdot 1 = -1$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним действия в порядке их следования:
$\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4} = -2 \cdot 2 : (-1) = -4 : (-1) = 4$.

Ответ: 4.

б) $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5}$

Вычислим значение каждого логарифма по отдельности.

1. Вычислим $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3}$. Представим основание и аргумент как степени числа 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ и $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$.
$\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3/2}{1/2} \log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3$.

2. Вычислим $\log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49}$. Сначала упростим аргумент: $\sqrt{49} = 7$. Затем представим основание как степень 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.
$\log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} = \log_{7^{-1}} 7 = \log_{7^{-1}} 7^1 = \frac{1}{-1} \log_7 7 = -1 \cdot 1 = -1$.

3. Вычислим $\log_5 \sqrt{5}$. Представим аргумент как степень 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
$\log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_5 5 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в выражение и выполним действия слева направо:
$\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5} = 3 : (-1) \cdot \frac{1}{2} = -3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

в) $\log_3 81 : \log_{0.5} 2 \cdot \log_5 125$

Вычислим значение каждого логарифма.

1. Вычислим $\log_3 81$. Так как $81 = 3^4$, то:
$\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$.

2. Вычислим $\log_{0.5} 2$. Представим основание как степень 2: $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$\log_{0.5} 2 = \log_{2^{-1}} 2^1 = \frac{1}{-1} \log_2 2 = -1$.

3. Вычислим $\log_5 125$. Так как $125 = 5^3$, то:
$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$.

Подставим значения в выражение и выполним действия слева направо:
$\log_3 81 : \log_{0.5} 2 \cdot \log_5 125 = 4 : (-1) \cdot 3 = -4 \cdot 3 = -12$.

Ответ: -12.

г) $\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0.3} \sqrt{0.3} : \lg 10\sqrt{0.1}$

Вычислим значение каждого логарифма. Напомним, что $\lg$ - это десятичный логарифм, т.е. логарифм по основанию 10.

1. Вычислим $\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5}$. Представим основание и аргумент как степени числа 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ и $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
$\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} = \log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3/2}{1/2} \log_5 5 = 3$.

2. Вычислим $\log_{0.3} \sqrt{0.3}$. Представим аргумент как степень основания: $\sqrt{0.3} = (0.3)^{\frac{1}{2}}$.
$\log_{0.3} \sqrt{0.3} = \log_{0.3} (0.3)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

3. Вычислим $\lg 10\sqrt{0.1}$. Упростим выражение под знаком логарифма:
$10\sqrt{0.1} = 10 \cdot \sqrt{\frac{1}{10}} = 10 \cdot \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}} = 10^1 \cdot 10^{-\frac{1}{2}} = 10^{1-\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{2}}$.
Следовательно, $\lg 10\sqrt{0.1} = \log_{10} 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в выражение и выполним действия слева направо:
$\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0.3} \sqrt{0.3} : \lg 10\sqrt{0.1} = 3 \cdot \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$.

Ответ: 3.