Номер 43.17, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.17, страница 176.

43.17 Известно, что $log_5 3 = m$ и $log_5 2 = n$. Выразите через $m$ и $n$:

а) $log_5 6$;

б) $log_5 18$;

в) $log_5 24$;

г) $log_5 72$.

а) Для того чтобы выразить $\log_5 6$ через $m$ и $n$, представим число 6 в виде произведения его простых множителей: $6 = 2 \times 3$.

Используя свойство логарифма произведения $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, получаем:

$\log_5 6 = \log_5 (2 \times 3) = \log_5 2 + \log_5 3$

Подставим известные значения из условия, что $\log_5 3 = m$ и $\log_5 2 = n$:

$\log_5 6 = n + m$

Ответ: $m+n$.

б) Чтобы выразить $\log_5 18$, разложим число 18 на простые множители: $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$.

Применим свойства логарифма произведения и логарифма степени $\log_a(x^k) = k \log_a x$:

$\log_5 18 = \log_5 (2 \times 3^2) = \log_5 2 + \log_5 (3^2) = \log_5 2 + 2\log_5 3$

Подставляем заданные значения $m$ и $n$:

$\log_5 18 = n + 2m$

Ответ: $2m+n$.

в) Для выражения $\log_5 24$ разложим число 24 на простые множители: $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$.

Используя свойства логарифма произведения и степени, получаем:

$\log_5 24 = \log_5 (2^3 \times 3) = \log_5 (2^3) + \log_5 3 = 3\log_5 2 + \log_5 3$

Подставим $m$ и $n$ в полученное выражение:

$\log_5 24 = 3n + m$

Ответ: $m+3n$.

г) Для выражения $\log_5 72$ разложим число 72 на простые множители: $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$.

Применим свойства логарифмов произведения и степени:

$\log_5 72 = \log_5 (2^3 \times 3^2) = \log_5 (2^3) + \log_5 (3^2) = 3\log_5 2 + 2\log_5 3$

Подставим известные значения из условия:

$\log_5 72 = 3n + 2m$

Ответ: $2m+3n$.