Номер 43.19, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.19, страница 176.

Вычислите:

43.19 a) $log_{\sqrt{2}}\left(\sin \frac{\pi}{8}\right) + log_{\sqrt{2}}\left(2 \cos \frac{\pi}{8}\right);$

б) $log_{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6}\right) + log_{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6}\right);$

в) $log_{\frac{1}{2}}\left(2 \sin \frac{\pi}{12}\right) + log_{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{12}\right);$

г) $log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}\right) + log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}\right).$

а) $log_{\sqrt{2}}(\sin\frac{\pi}{8}) + log_{\sqrt{2}}(2 \cos\frac{\pi}{8})$

Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\sqrt{2}}(\sin\frac{\pi}{8} \cdot 2 \cos\frac{\pi}{8}) = log_{\sqrt{2}}(2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8})$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$.

$log_{\sqrt{2}}(\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8})) = log_{\sqrt{2}}(\sin\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в выражение.

$log_{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2}}{2})$

Чтобы вычислить логарифм, представим его аргумент в виде степени основания: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1}$.

Таким образом, $log_{\sqrt{2}}((\sqrt{2})^{-1}) = -1$.

Ответ: -1

б) $log_{\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6}) + log_{\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6})$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{1}{2}}((\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6})(\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}))$

В аргументе логарифма применяем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$log_{\frac{1}{2}}(\cos^2\frac{\pi}{6} - \sin^2\frac{\pi}{6})$

Полученное выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

$log_{\frac{1}{2}}(\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6})) = log_{\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{3})$

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Подставляем значение.

$log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) = 1$

Ответ: 1

в) $log_{\frac{1}{2}}(2 \sin\frac{\pi}{12}) + log_{\frac{1}{2}}(\cos\frac{\pi}{12})$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{1}{2}}(2 \sin\frac{\pi}{12} \cdot \cos\frac{\pi}{12})$

Выражение в скобках является формулой синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, где $\alpha=\frac{\pi}{12}$.

$log_{\frac{1}{2}}(\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12})) = log_{\frac{1}{2}}(\sin\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Подставляем значение.

$log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) = 1$

Ответ: 1

г) $log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos\frac{\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12}) + log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12})$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}((\cos\frac{\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12})(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}))$

В аргументе логарифма применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos^2\frac{\pi}{12} - \sin^2\frac{\pi}{12})$

Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi}{12}$.

$log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos(2 \cdot \frac{\pi}{12})) = log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\cos\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем значение.

$log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1$

Ответ: 1