Номер 43.24, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.24, страница 177.

43.24 a) $lg x = 2 lg 7 - 3 lg 3 + lg 8;$

б) $lg x = 2 lg 3 + lg 6 - \frac{1}{2} lg 9;$

в) $lg x = \frac{1}{2} lg 3 + \frac{2}{3} lg 5 - \frac{1}{3} lg 4;$

г) $lg x = -\frac{1}{2} lg 5 + lg \sqrt{5} + \frac{1}{4} lg 25.$

а)

Для решения уравнения $\lg x = 2\lg 7 - 3\lg 3 + \lg 8$ воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Применим свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$ к правой части уравнения:

$2\lg 7 = \lg 7^2 = \lg 49$

$3\lg 3 = \lg 3^3 = \lg 27$

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

$\lg x = \lg 49 - \lg 27 + \lg 8$

2. Теперь применим свойства суммы и разности логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

Сгруппируем слагаемые:

$\lg x = (\lg 49 + \lg 8) - \lg 27$

$\lg x = \lg(49 \cdot 8) - \lg 27$

$\lg x = \lg 392 - \lg 27$

$\lg x = \lg\left(\frac{392}{27}\right)$

3. Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны (основание 10), мы можем приравнять их аргументы:

$x = \frac{392}{27}$

Ответ: $x = \frac{392}{27}$

б)

Решим уравнение $\lg x = 2\lg 3 + \lg 6 - \frac{1}{2}\lg 9$.

1. Применим свойство степени логарифма $n\lg a = \lg a^n$:

$2\lg 3 = \lg 3^2 = \lg 9$

$\frac{1}{2}\lg 9 = \lg 9^{1/2} = \lg \sqrt{9} = \lg 3$

Подставим в уравнение:

$\lg x = \lg 9 + \lg 6 - \lg 3$

2. Используем свойства суммы и разности логарифмов:

$\lg x = \lg(9 \cdot 6) - \lg 3$

$\lg x = \lg 54 - \lg 3$

$\lg x = \lg\left(\frac{54}{3}\right)$

$\lg x = \lg 18$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = 18$

Ответ: $x = 18$

в)

Решим уравнение $\lg x = \frac{1}{2}\lg 3 + \frac{2}{3}\lg 5 - \frac{1}{3}\lg 4$.

1. Применим свойство степени логарифма $n\lg a = \lg a^n$:

$\frac{1}{2}\lg 3 = \lg 3^{1/2} = \lg \sqrt{3}$

$\frac{2}{3}\lg 5 = \lg 5^{2/3} = \lg \sqrt[3]{5^2} = \lg \sqrt[3]{25}$

$\frac{1}{3}\lg 4 = \lg 4^{1/3} = \lg \sqrt[3]{4}$

Подставим в уравнение:

$\lg x = \lg \sqrt{3} + \lg \sqrt[3]{25} - \lg \sqrt[3]{4}$

2. Используем свойства суммы и разности логарифмов:

$\lg x = \lg(\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{25}) - \lg \sqrt[3]{4}$

$\lg x = \lg\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{4}}\right)$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = \frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{4}}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{4}}$

г)

Решим уравнение $\lg x = -\frac{1}{2}\lg 5 + \lg \sqrt{5} + \frac{1}{4}\lg 25$.

1. Упростим правую часть, используя свойства логарифмов. Заметим, что $\lg \sqrt{5} = \lg 5^{1/2} = \frac{1}{2}\lg 5$ и $\lg 25 = \lg 5^2 = 2\lg 5$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\lg x = -\frac{1}{2}\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 5 + \frac{1}{4}(2\lg 5)$

2. Упростим выражение:

Первые два слагаемых $-\frac{1}{2}\lg 5$ и $+\frac{1}{2}\lg 5$ взаимно уничтожаются.

$\lg x = \frac{1}{4}(2\lg 5)$

$\lg x = \frac{2}{4}\lg 5$

$\lg x = \frac{1}{2}\lg 5$

3. Применим свойство степени логарифма:

$\lg x = \lg 5^{1/2}$

$\lg x = \lg \sqrt{5}$

4. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = \sqrt{5}$

Ответ: $x = \sqrt{5}$