Номер 43.20, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.20, страница 177.

43.20 a) $log_3\left(2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{8}\right) - log_3\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}\right);$

б) $log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{19}\right) + log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{19}\right);$

в) $log_{\frac{1}{3}}\left(2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\right) + log_{\frac{1}{3}}\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1};$

г) $log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\right) + log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{5}{14}\pi\right).$

а)

Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$.

$log_3(2 \tg\frac{\pi}{8}) - log_3(1 - \tg^2\frac{\pi}{8}) = log_3\left(\frac{2 \tg\frac{\pi}{8}}{1 - \tg^2\frac{\pi}{8}}\right)$.

Выражение в скобках является формулой тангенса двойного угла: $\tg(2\alpha) = \frac{2 \tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, выражение упрощается до $log_3(\tg\frac{\pi}{4})$.

Так как $\tg\frac{\pi}{4} = 1$, получаем $log_3(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

$log_3(1) = 0$.

Ответ: 0.

б)

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\sqrt{3}}(\tg\frac{\pi}{19}) + log_{\sqrt{3}}(\ctg\frac{\pi}{19}) = log_{\sqrt{3}}(\tg\frac{\pi}{19} \cdot \ctg\frac{\pi}{19})$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$.

Выражение упрощается до $log_{\sqrt{3}}(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

$log_{\sqrt{3}}(1) = 0$.

Ответ: 0.

в)

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{1}{3}}(2 \tg\frac{\pi}{6}) + log_{\frac{1}{3}}\left((1 - \tg^2\frac{\pi}{6})^{-1}\right) = log_{\frac{1}{3}}\left(2 \tg\frac{\pi}{6} \cdot (1 - \tg^2\frac{\pi}{6})^{-1}\right) = log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2 \tg\frac{\pi}{6}}{1 - \tg^2\frac{\pi}{6}}\right)$.

Выражение в скобках является формулой тангенса двойного угла для $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Выражение упрощается до $log_{\frac{1}{3}}(\tg\frac{\pi}{3})$.

Мы знаем, что $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Значит, нам нужно вычислить $log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{3})$.

Пусть $log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{3}) = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{3}$.

Представим обе части равенства как степени числа 3: $(3^{-1})^x = 3^{\frac{1}{2}}$, что равносильно $3^{-x} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Приравнивая показатели степени, получаем $-x = \frac{1}{2}$, откуда $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г)

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{1}{2}}(\tg\frac{\pi}{7}) + log_{\frac{1}{2}}(\tg\frac{5\pi}{14}) = log_{\frac{1}{2}}(\tg\frac{\pi}{7} \cdot \tg\frac{5\pi}{14})$.

Проверим, являются ли углы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{14}$ дополнительными до $\frac{\pi}{2}$.

$\frac{\pi}{7} + \frac{5\pi}{14} = \frac{2\pi}{14} + \frac{5\pi}{14} = \frac{7\pi}{14} = \frac{\pi}{2}$.

Так как сумма углов равна $\frac{\pi}{2}$, мы можем использовать формулу приведения $\tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \ctg\alpha$.

$\tg\frac{5\pi}{14} = \tg(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \ctg\frac{\pi}{7}$.

Подставим это в наше выражение: $log_{\frac{1}{2}}(\tg\frac{\pi}{7} \cdot \ctg\frac{\pi}{7})$.

Используем тождество $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$, получаем $log_{\frac{1}{2}}(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Ответ: 0.