Номер 43.13, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.13, страница 176.

43.13 Известно, что положительные числа $x, a, b$ и $c$ связаны соотношением $x = \frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}$. Выразите $\log_n x$ через логарифмы по основанию $n$ чисел $a, b, c$.

Чтобы выразить $\log_n x$ через логарифмы по основанию $n$ чисел $a, b, c$, мы начнем с данного соотношения и прологарифмируем обе его части по основанию $n$.

Исходное соотношение: $x = \frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}$.

Логарифмируем обе части по основанию $n$:
$\log_n x = \log_n \left(\frac{a^2 c^3}{\sqrt{b}}\right)$

Применяем свойство логарифма частного $\log_k \left(\frac{M}{N}\right) = \log_k M - \log_k N$:
$\log_n x = \log_n(a^2 c^3) - \log_n(\sqrt{b})$

Далее, применяем свойство логарифма произведения $\log_k (M \cdot N) = \log_k M + \log_k N$ к первому слагаемому:
$\log_n x = \log_n(a^2) + \log_n(c^3) - \log_n(\sqrt{b})$

Наконец, используем свойство логарифма степени $\log_k (M^p) = p \log_k M$. Также представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{b} = b^{1/2}$.
$\log_n x = 2 \log_n a + 3 \log_n c - \frac{1}{2} \log_n b$

Переставим слагаемые для удобства:
$\log_n x = 2 \log_n a - \frac{1}{2} \log_n b + 3 \log_n c$

Ответ: $\log_n x = 2 \log_n a - \frac{1}{2} \log_n b + 3 \log_n c$