Номер 43.12, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.12, страница 176.

43.12 a) $\frac{\frac{1}{2} \log_3 64 - 2 \log_3 2}{\log_3 2}$;

б) $\frac{\log_6 12 + 2 \log_6 2}{\frac{1}{3} \log_6 27 + 4 \log_6 2}$;

в) $\frac{2 \log_{0.5} 2 + \log_{0.5} \sqrt{10}}{\log_{0.5} 10 - \log_{0.5} \sqrt{10} + \log_{0.5} 4}$;

г) $\frac{\log_{0.3} 16}{\log_{0.3} 15 - \log_{0.3} 30}$.

а) $\frac{\frac{1}{2}\log_3 64 - 2\log_3 2}{\log_3 2}$

Для решения этого примера воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала преобразуем числитель дроби.

1. Применим свойство степени логарифма $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$ к обоим слагаемым в числителе:

$\frac{1}{2}\log_3 64 = \log_3 64^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{64} = \log_3 8$

$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$

2. Теперь числитель принимает вид разности логарифмов:

$\log_3 8 - \log_3 4$

3. Применим свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$:

$\log_3 8 - \log_3 4 = \log_3 \frac{8}{4} = \log_3 2$

4. Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\log_3 2}{\log_3 2} = 1$

Ответ: 1

б) $\frac{\log_6 12 + 2\log_6 2}{\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2}$

Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя свойства логарифмов.

1. Преобразуем числитель. Используем свойство степени $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$ и свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$:

$\log_6 12 + 2\log_6 2 = \log_6 12 + \log_6 2^2 = \log_6 12 + \log_6 4 = \log_6 (12 \cdot 4) = \log_6 48$

2. Преобразуем знаменатель. Аналогично используем свойство степени и свойство суммы логарифмов:

$\frac{1}{3}\log_6 27 + 4\log_6 2 = \log_6 27^{\frac{1}{3}} + \log_6 2^4 = \log_6 3 + \log_6 16 = \log_6 (3 \cdot 16) = \log_6 48$

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_6 48}{\log_6 48} = 1$

Ответ: 1

в) $\frac{2\log_{0.5} 2 + \log_{0.5} \sqrt{10}}{\log_{0.5} 10 - \log_{0.5} \sqrt{10} + \log_{0.5} 4}$

Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов.

1. Преобразуем числитель. Применим свойство степени $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$ и свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$:

$2\log_{0.5} 2 + \log_{0.5} \sqrt{10} = \log_{0.5} 2^2 + \log_{0.5} \sqrt{10} = \log_{0.5} 4 + \log_{0.5} \sqrt{10} = \log_{0.5} (4\sqrt{10})$

2. Преобразуем знаменатель. Применим свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$ и свойство суммы логарифмов:

$\log_{0.5} 10 - \log_{0.5} \sqrt{10} + \log_{0.5} 4 = \log_{0.5} \frac{10}{\sqrt{10}} + \log_{0.5} 4 = \log_{0.5} \sqrt{10} + \log_{0.5} 4 = \log_{0.5} (4\sqrt{10})$

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{\log_{0.5} (4\sqrt{10})}{\log_{0.5} (4\sqrt{10})} = 1$

Ответ: 1

г) $\frac{\log_{0.3} 16}{\log_{0.3} 15 - \log_{0.3} 30}$

Преобразуем числитель и знаменатель, применяя свойства логарифмов.

1. Преобразуем числитель, используя свойство степени $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$:

$\log_{0.3} 16 = \log_{0.3} 2^4 = 4\log_{0.3} 2$

2. Преобразуем знаменатель, используя свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$:

$\log_{0.3} 15 - \log_{0.3} 30 = \log_{0.3} \frac{15}{30} = \log_{0.3} \frac{1}{2}$

3. Используем свойство степени для знаменателя:

$\log_{0.3} \frac{1}{2} = \log_{0.3} 2^{-1} = -1 \cdot \log_{0.3} 2 = -\log_{0.3} 2$

4. Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{4\log_{0.3} 2}{-\log_{0.3} 2}$

5. Сократим дробь на $\log_{0.3} 2$:

$\frac{4}{-1} = -4$

Ответ: -4