Номер 43.18, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.18, страница 176.

43.18 Известно, что $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$ и $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$. Выразите через $c$ и $a$:

а) $\log_{\frac{1}{2}} 21$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42}$;

в) $\log_{\frac{1}{2}} 147$;

г) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}}$.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$
• Логарифм частного: $\log_b\left(\frac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$
• Логарифм степени: $\log_b(M^k) = k \log_b M$

Дано: $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$ и $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$.

Также вычислим значение $\log_{\frac{1}{2}} 2$. Так как $2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$, то $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = -1$.

а) $\log_{\frac{1}{2}} 21$

Представим число 21 в виде произведения чисел 3 и 7: $21 = 3 \cdot 7$.

Применим свойство логарифма произведения:

$\log_{\frac{1}{2}} 21 = \log_{\frac{1}{2}} (3 \cdot 7) = \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7$

Подставим известные значения $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$ и $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$:

$\log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7 = a + c$

Ответ: $a + c$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42}$

Применим свойство логарифма частного (или степени):

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42} = \log_{\frac{1}{2}} (42^{-1}) = -1 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 42 = -\log_{\frac{1}{2}} 42$

Теперь разложим число 42 на множители: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

$\log_{\frac{1}{2}} 42 = \log_{\frac{1}{2}} (2 \cdot 3 \cdot 7) = \log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7$

Подставим известные значения $\log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$, $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$ и $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$:

$\log_{\frac{1}{2}} 42 = -1 + a + c$

Тогда искомое выражение равно:

$-\log_{\frac{1}{2}} 42 = -(-1 + a + c) = 1 - a - c$

Ответ: $1 - a - c$.

в) $\log_{\frac{1}{2}} 147$

Разложим число 147 на множители: $147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$.

Применим свойства логарифма произведения и степени:

$\log_{\frac{1}{2}} 147 = \log_{\frac{1}{2}} (3 \cdot 7^2) = \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7^2 = \log_{\frac{1}{2}} 3 + 2 \log_{\frac{1}{2}} 7$

Подставим известные значения $a$ и $c$:

$\log_{\frac{1}{2}} 3 + 2 \log_{\frac{1}{2}} 7 = a + 2c$

Ответ: $a + 2c$.

г) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}}$

Применим свойство логарифма частного:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}} = \log_{\frac{1}{2}} 49 - \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3}$

Представим аргументы в виде степеней: $49 = 7^2$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

$\log_{\frac{1}{2}} 7^2 - \log_{\frac{1}{2}} 3^{\frac{1}{2}}$

Применим свойство логарифма степени:

$2 \log_{\frac{1}{2}} 7 - \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 3$

Подставим известные значения $c$ и $a$:

$2c - \frac{1}{2}a$

Ответ: $2c - \frac{1}{2}a$.