Номер 43.16, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.16, страница 176.

43.16 Известно, что $ \log_3 2 = a $ и $ \log_3 5 = b $. Выразите через $ a $ и $ b $:

а) $ \log_3 10 $;

б) $ \log_3 20 $;

в) $ \log_3 50 $;

г) $ \log_3 200 $.

Дано: $\log_3 2 = a$ и $\log_3 5 = b$.

Для решения задачи будем использовать следующие свойства логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$
• Логарифм степени: $\log_c(x^k) = k \log_c x$

а)

Чтобы выразить $\log_3 10$ через $a$ и $b$, представим число 10 в виде произведения чисел, логарифмы которых нам известны: $10 = 2 \cdot 5$.

Применим свойство логарифма произведения:

$\log_3 10 = \log_3 (2 \cdot 5) = \log_3 2 + \log_3 5$.

Теперь подставим заданные значения $\log_3 2 = a$ и $\log_3 5 = b$:

$\log_3 10 = a + b$.

Ответ: $a + b$.

б)

Чтобы выразить $\log_3 20$, представим 20 в виде произведения простых множителей: $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.

Применим свойства логарифма произведения и логарифма степени:

$\log_3 20 = \log_3 (2^2 \cdot 5) = \log_3 (2^2) + \log_3 5 = 2 \log_3 2 + \log_3 5$.

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$\log_3 20 = 2a + b$.

Ответ: $2a + b$.

в)

Выразим $\log_3 50$. Разложим 50 на простые множители: $50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$.

Используя свойства логарифмов, получаем:

$\log_3 50 = \log_3 (2 \cdot 5^2) = \log_3 2 + \log_3 (5^2) = \log_3 2 + 2 \log_3 5$.

Подставим $a$ и $b$:

$\log_3 50 = a + 2b$.

Ответ: $a + 2b$.

г)

Выразим $\log_3 200$. Разложим 200 на простые множители: $200 = 8 \cdot 25 = 2^3 \cdot 5^2$.

Применим свойства логарифмов:

$\log_3 200 = \log_3 (2^3 \cdot 5^2) = \log_3 (2^3) + \log_3 (5^2) = 3 \log_3 2 + 2 \log_3 5$.

Подставим $a$ и $b$:

$\log_3 200 = 3a + 2b$.

Ответ: $3a + 2b$.