Номер 43.11, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.11, страница 175.

43.11 a) $\frac{\log_7 25}{\log_7 5}$;

б) $\frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27}$;

В) $\frac{\log_4 36}{\log_4 6}$;

Г) $\frac{\log_{0,3} 32}{\log_{0,3} 64}$.

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. В данном случае $ c=7 $, $ b=25 $ и $ a=5 $. Применяя формулу, получаем:
$ \frac{\log_7 25}{\log_7 5} = \log_5 25 $.
Значение логарифма $ \log_5 25 $ — это степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. Так как $ 25 = 5^2 $, то:
$ \log_5 25 = 2 $.
Ответ: 2

б) Используем ту же формулу перехода к новому основанию: $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. Здесь $ c = \frac{1}{2} $, $ b = 9 $ и $ a = 27 $.
$ \frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27} = \log_{27} 9 $.
Чтобы вычислить $ \log_{27} 9 $, представим основание 27 и число 9 как степени числа 3. Мы знаем, что $ 27 = 3^3 $ и $ 9 = 3^2 $.
$ \log_{27} 9 = \log_{3^3} (3^2) $.
Далее воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $ или $ \log_a (b^m) = m \log_a b $, что вместе дает $ \log_{a^k} (b^m) = \frac{m}{k} \log_a b $:
$ \log_{3^3} (3^2) = \frac{2}{3} \log_3 3 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

в) Применим формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. В этом примере $ c=4 $, $ b=36 $ и $ a=6 $.
$ \frac{\log_4 36}{\log_4 6} = \log_6 36 $.
Значение логарифма $ \log_6 36 $ — это степень, в которую нужно возвести 6, чтобы получить 36. Поскольку $ 36 = 6^2 $, то:
$ \log_6 36 = 2 $.
Ответ: 2

г) Снова используем формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $. Здесь $ c=0,3 $, $ b=32 $ и $ a=64 $.
$ \frac{\log_{0,3} 32}{\log_{0,3} 64} = \log_{64} 32 $.
Чтобы вычислить $ \log_{64} 32 $, представим основание 64 и число 32 как степени числа 2. Мы знаем, что $ 64 = 2^6 $ и $ 32 = 2^5 $.
$ \log_{64} 32 = \log_{2^6} (2^5) $.
Используя свойство логарифма $ \log_{a^k} (b^m) = \frac{m}{k} \log_a b $, получаем:
$ \log_{2^6} (2^5) = \frac{5}{6} \log_2 2 = \frac{5}{6} \cdot 1 = \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{5}{6} $