Номер 43.15, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.15, страница 176.

43.15 Прологарифмируйте по основанию 5:

а) $125a^4 : b^4;$

б) $\frac{625(\sqrt{ab})^3}{\frac{1}{c^2}};$

в) $\frac{25\sqrt{5} a^6 b^7}{c^3};$

г) $(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}})^{-3}.$

а) Чтобы прологарифмировать выражение $125a^4 : b^4$ по основанию 5, представим его в виде дроби $\frac{125a^4}{b^4}$ и применим свойства логарифмов. Логарифм частного равен разности логарифмов: $\log_5\left(\frac{125a^4}{b^4}\right) = \log_5(125a^4) - \log_5(b^4)$. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $\log_5(125) + \log_5(a^4) - \log_5(b^4)$. Логарифм степени позволяет вынести показатель за знак логарифма: $\log_5(5^3) + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$. Поскольку $\log_5(5^3)=3$, итоговое выражение: $3 + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$. Ответ: $3 + 4\log_5(a) - 4\log_5(b)$.

б) Прологарифмируем выражение $\frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{\frac{1}{2}}}$ по основанию 5. Сначала преобразуем выражение: $(\sqrt{ab})^3 = (ab)^{\frac{3}{2}}$. Теперь логарифмируем: $\log_5\left(\frac{625(ab)^{\frac{3}{2}}}{c^{\frac{1}{2}}}\right)$. Применяем свойства логарифма частного и произведения: $\log_5(625) + \log_5((ab)^{\frac{3}{2}}) - \log_5(c^{\frac{1}{2}})$. Далее, используя свойство логарифма степени и произведения: $\log_5(5^4) + \frac{3}{2}\log_5(ab) - \frac{1}{2}\log_5(c) = 4 + \frac{3}{2}(\log_5(a) + \log_5(b)) - \frac{1}{2}\log_5(c)$. Раскрывая скобки, получаем: $4 + \frac{3}{2}\log_5(a) + \frac{3}{2}\log_5(b) - \frac{1}{2}\log_5(c)$. Ответ: $4 + \frac{3}{2}\log_5(a) + \frac{3}{2}\log_5(b) - \frac{1}{2}\log_5(c)$.

в) Прологарифмируем выражение $\frac{25\sqrt{5} a^6 b^7}{c^3}$ по основанию 5. Сначала упростим числовой коэффициент: $25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}$. Теперь логарифмируем выражение $\log_5\left(\frac{5^{\frac{5}{2}} a^6 b^7}{c^3}\right)$. Используя свойства логарифмов частного, произведения и степени, последовательно получаем: $\log_5(5^{\frac{5}{2}} a^6 b^7) - \log_5(c^3) = \log_5(5^{\frac{5}{2}}) + \log_5(a^6) + \log_5(b^7) - \log_5(c^3) = \frac{5}{2}\log_5(5) + 6\log_5(a) + 7\log_5(b) - 3\log_5(c)$. Так как $\log_5(5) = 1$, окончательный результат: $\frac{5}{2} + 6\log_5(a) + 7\log_5(b) - 3\log_5(c)$. Ответ: $\frac{5}{2} + 6\log_5(a) + 7\log_5(b) - 3\log_5(c)$.

г) Прологарифмируем выражение $\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}$ по основанию 5. Сначала вынесем степень $-3$ за знак логарифма: $\log_5\left(\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}\right) = -3\log_5\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)$. Преобразуем корень в степень: $\sqrt[5]{b^2} = b^{\frac{2}{5}}$. Применим свойство логарифма частного: $-3(\log_5(a^6) - \log_5(b^{\frac{2}{5}}))$. Теперь применим свойство логарифма степени: $-3(6\log_5(a) - \frac{2}{5}\log_5(b))$. Раскрыв скобки, получаем: $-18\log_5(a) + \frac{6}{5}\log_5(b)$. Ответ: $-18\log_5(a) + \frac{6}{5}\log_5(b)$.