Номер 43.22, страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.22, страница 177.

Найдите число x по его логарифму:

43.22 a) $\log_2 x = \log_2 72 - \log_2 9;$

б) $\log_4 x = \log_4 2\sqrt{2} + \log_4 8\sqrt{8};$

в) $\log_7 x = \log_7 14 - \log_7 98;$

г) $\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125}.$

а) Дано уравнение $\log_2 x = \log_2 72 - \log_2 9$. Чтобы найти $x$, мы можем упростить правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$. Применив это свойство, получаем:$\log_2 x = \log_2(\frac{72}{9})$.Вычисляем значение дроби в аргументе логарифма:$\frac{72}{9} = 8$.Таким образом, уравнение преобразуется к виду:$\log_2 x = \log_2 8$.Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то равны и их аргументы. Следовательно, $x = 8$.Ответ: $8$.

б) Дано уравнение $\log_4 x = \log_4 2\sqrt{2} + \log_4 8\sqrt{8}$. Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$. Применяя это свойство к правой части уравнения, получаем:$\log_4 x = \log_4(2\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{8})$.Вычислим произведение в аргументе логарифма:$2\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{8} = (2 \cdot 8) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}) = 16 \cdot \sqrt{2 \cdot 8} = 16 \cdot \sqrt{16} = 16 \cdot 4 = 64$.Уравнение принимает вид:$\log_4 x = \log_4 64$.Из равенства логарифмов с одинаковым основанием следует равенство их аргументов, поэтому $x = 64$.Ответ: $64$.

в) Дано уравнение $\log_7 x = \log_7 14 - \log_7 98$. Используем свойство разности логарифмов, как и в пункте а): $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.$\log_7 x = \log_7(\frac{14}{98})$.Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 14:$\frac{14}{98} = \frac{1}{7}$.Таким образом, получаем уравнение:$\log_7 x = \log_7(\frac{1}{7})$.Поскольку основания логарифмов равны, их аргументы также должны быть равны. Следовательно, $x = \frac{1}{7}$.Ответ: $\frac{1}{7}$.

г) Дано уравнение $\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125}$. Напомним, что $\lg$ — это десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.$\lg x = \lg(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125})$.Вычислим произведение в аргументе:$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{8 \cdot 125} = \frac{1}{1000}$.Уравнение принимает вид:$\lg x = \lg(\frac{1}{1000})$.Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов, поэтому $x = \frac{1}{1000}$.Ответ: $\frac{1}{1000}$.