Номер 43.27, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.27, страница 178.

43.27 a) $8^{\log_2 3}$;

б) $\left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$;

В) $100^{\lg 5}$;

Г) $\left(\frac{1}{16}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$.

а) $8^{\log_2 3}$

Для решения воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Чтобы его применить, необходимо, чтобы основание степени совпадало с основанием логарифма.

1. Приведем основание степени (8) к основанию логарифма (2). Мы знаем, что $8 = 2^3$.

2. Подставим это в исходное выражение: $8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3}$.

3. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(2^3)^{\log_2 3} = 2^{3 \cdot \log_2 3}$.

4. Теперь применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $2^{3 \cdot \log_2 3} = 2^{\log_2 (3^3)} = 2^{\log_2 27}$.

5. Теперь, когда основания совпадают, используем основное логарифмическое тождество: $2^{\log_2 27} = 27$.

Ответ: 27

б) $(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$

Аналогично предыдущему пункту, приведем основание степени $(\frac{1}{9})$ к основанию логарифма $(\frac{1}{3})$.

1. Представим $\frac{1}{9}$ как степень числа $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$.

2. Подставим это в исходное выражение: $(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{3}} 13} = ((\frac{1}{3})^2)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$.

3. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $((\frac{1}{3})^2)^{\log_{\frac{1}{3}} 13} = (\frac{1}{3})^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13}$.

4. По свойству логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $(\frac{1}{3})^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} (13^2)} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 169}$.

5. Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 169} = 169$.

Ответ: 169

в) $100^{\lg 5}$

Запись $\lg 5$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg 5 = \log_{10} 5$. Приведем основание степени (100) к основанию логарифма (10).

1. Представим 100 как степень числа 10: $100 = 10^2$.

2. Подставим в исходное выражение: $100^{\lg 5} = (10^2)^{\log_{10} 5}$.

3. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^2)^{\log_{10} 5} = 10^{2 \cdot \log_{10} 5}$.

4. Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $10^{2 \cdot \log_{10} 5} = 10^{\log_{10} (5^2)} = 10^{\log_{10} 25}$.

5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$: $10^{\log_{10} 25} = 25$.

Ответ: 25

г) $(\frac{1}{16})^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$

Приведем основание степени $(\frac{1}{16})$ к основанию логарифма $(\frac{1}{2})$.

1. Представим $\frac{1}{16}$ как степень числа $\frac{1}{2}$. Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4$.

2. Подставим в исходное выражение: $(\frac{1}{16})^{\log_{\frac{1}{2}} 5} = ((\frac{1}{2})^4)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$.

3. По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $((\frac{1}{2})^4)^{\log_{\frac{1}{2}} 5} = (\frac{1}{2})^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5}$.

4. По свойству логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$: $(\frac{1}{2})^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} (5^4)} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 625}$.

5. Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 625} = 625$.

Ответ: 625