Номер 43.34, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.34, страница 179.

43.34 а) $log_6 12 + log_6 x = log_6 24;$

б) $log_{0.5} 3 + log_{0.5} x = log_{0.5} 12;$

в) $log_5 13 + log_5 x = log_5 39;$

г) $log_{\frac{1}{3}} 8 + log_{\frac{1}{3}} x = log_{\frac{1}{3}} 4.$

а) Исходное уравнение: $ \log_6 12 + \log_6 x = \log_6 24 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $ x > 0 $, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Для решения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.

Применяем это свойство к левой части уравнения:

$ \log_6 (12 \cdot x) = \log_6 24 $

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ 12x = 24 $

Находим $x$:

$ x = \frac{24}{12} $

$ x = 2 $

Полученное значение $ x = 2 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 2 > 0 $).

Ответ: 2

б) Исходное уравнение: $ \log_{0,5} 3 + \log_{0,5} x = \log_{0,5} 12 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $:

$ \log_{0,5} (3 \cdot x) = \log_{0,5} 12 $

Приравниваем аргументы логарифмов, так как основания одинаковы:

$ 3x = 12 $

Решаем уравнение относительно $x$:

$ x = \frac{12}{3} $

$ x = 4 $

Значение $ x = 4 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 4 > 0 $).

Ответ: 4

в) Исходное уравнение: $ \log_5 13 + \log_5 x = \log_5 39 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Применяем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $:

$ \log_5 (13 \cdot x) = \log_5 39 $

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$ 13x = 39 $

Находим $x$:

$ x = \frac{39}{13} $

$ x = 3 $

Значение $ x = 3 $ входит в ОДЗ ($ 3 > 0 $).

Ответ: 3

г) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Используем то же свойство суммы логарифмов:

$ \log_{\frac{1}{3}} (8 \cdot x) = \log_{\frac{1}{3}} 4 $

Приравниваем аргументы логарифмов с одинаковыми основаниями:

$ 8x = 4 $

Решаем уравнение:

$ x = \frac{4}{8} $

$ x = \frac{1}{2} $ или $ x = 0,5 $

Полученное значение $ x = \frac{1}{2} $ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{2} > 0 $).

Ответ: 0,5