Номер 43.38, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. §43. Свойства логарифмов - номер 43.38, страница 179.

Условие.

43.38 а) $y = \log_2 x^3$;

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x}$;

В) $y = \log_3 \frac{1}{x}$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{2}} x^3$.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) $y = \log_2 x^3$

Для нахождения производной данной функции, сначала упростим ее, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$. Область определения функции задается условием $x^3 > 0$, что равносильно $x > 0$.

$y = 3 \log_2 x$

Теперь найдем производную, используя формулу производной логарифмической функции $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

$y' = (3 \log_2 x)' = 3 \cdot (\log_2 x)' = 3 \cdot \frac{1}{x \ln 2} = \frac{3}{x \ln 2}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{x \ln 2}$.

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x}$

Упростим функцию, используя свойства логарифмов. Область определения функции задается условием $\frac{1}{x} > 0$, что означает $x > 0$.

Используем свойства: $\frac{1}{x} = x^{-1}$, $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$.

$y = \log_{3^{-1}} x^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_3 x = \log_3 x$.

Теперь найдем производную функции $y = \log_3 x$.

$y' = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 3}$.

в) $y = \log_3 \frac{1}{x}$

Упростим функцию, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$. Область определения функции: $\frac{1}{x} > 0$, то есть $x > 0$.

$y = \log_3 (x^{-1}) = -1 \cdot \log_3 x = -\log_3 x$.

Найдем производную функции $y = -\log_3 x$.

$y' = (-\log_3 x)' = - (\log_3 x)' = -\frac{1}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{x \ln 3}$.

г) $y = \log_{\frac{1}{2}} x^3$

Упростим функцию, используя свойства логарифмов. Область определения функции: $x^3 > 0$, то есть $x > 0$.

Используем свойства: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$.

$y = \log_{2^{-1}} x^3 = \frac{3}{-1} \log_2 x = -3 \log_2 x$.

Найдем производную функции $y = -3 \log_2 x$.

$y' = (-3 \log_2 x)' = -3 \cdot (\log_2 x)' = -3 \cdot \frac{1}{x \ln 2} = -\frac{3}{x \ln 2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{x \ln 2}$.