Номер 43.36, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§43. Свойства логарифмов. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 43.36, страница 179.

43.36 a) $\log_x 8 - \log_x 2 = 2;$

б) $\log_x 2 + \log_x 8 = 4;$

в) $\log_x 3 + \log_x 9 = 3;$

г) $\log_x \sqrt{5} + \log_x (25\sqrt{5}) = 3.$

а)

Область допустимых значений (ОДЗ) для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используя свойство разности логарифмов $\log_b m - \log_b n = \log_b(m/n)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\log_x(8/2) = 2$
$\log_x 4 = 2$
По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $b^c = a$. Применяя это правило, получаем:
$x^2 = 4$
Решениями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Проверяем решения на соответствие ОДЗ. Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним. Корень $x = 2$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $2$.

б)

ОДЗ для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_b m + \log_b n = \log_b(m \cdot n)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\log_x(2 \cdot 8) = 4$
$\log_x 16 = 4$
По определению логарифма, переходим к экспоненциальному уравнению:
$x^4 = 16$
Так как $16 = 2^4$, уравнение принимает вид $x^4 = 2^4$. Вещественными корнями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.
Проверяем решения по ОДЗ. Корень $x = -2$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $x > 0$. Корень $x = 2$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $2$.

в)

ОДЗ для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_b m + \log_b n = \log_b(m \cdot n)$, получаем:
$\log_x(3 \cdot 9) = 3$
$\log_x 27 = 3$
По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно следующему:
$x^3 = 27$
Так как $27 = 3^3$, то $x^3 = 3^3$. Единственным вещественным решением является $x = 3$.
Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).

Ответ: $3$.

г)

ОДЗ для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Применим свойство суммы логарифмов $\log_b m + \log_b n = \log_b(m \cdot n)$:
$\log_x(\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5}) = 3$
Упростим выражение под знаком логарифма: $\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5} = 25 \cdot (\sqrt{5})^2 = 25 \cdot 5 = 125$.
Уравнение принимает вид:
$\log_x 125 = 3$
По определению логарифма, получаем:
$x^3 = 125$
Так как $125 = 5^3$, то $x^3 = 5^3$. Единственным вещественным решением является $x = 5$.
Корень $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 > 0$ и $5 \neq 1$).

Ответ: $5$.