Номер 44.3, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.3, страница 180.

44.3 a) $log_{0,1}(x^2 + 4x - 20) = 0;$

б) $log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 10x + 10) = 0;$

В) $log_7(x^2 - 12x + 36) = 0;$

Г) $log_{12}(x^2 - 8x + 16) = 0.$

а) Дано логарифмическое уравнение:
$\log_{0.1}(x^2 + 4x - 20) = 0$
По определению логарифма, уравнение $\log_a(b) = c$ равносильно уравнению $b = a^c$, при условии, что $b>0$, $a>0$ и $a \ne 1$.
В данном случае $a=0.1$, $b=x^2 + 4x - 20$ и $c=0$.
Применим определение логарифма:
$x^2 + 4x - 20 = (0.1)^0$
Любое число в степени 0 равно 1, поэтому:
$x^2 + 4x - 20 = 1$
Условие $x^2 + 4x - 20 > 0$ выполняется, так как мы приравниваем это выражение к 1.
Перенесем 1 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - 21 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Ответ: $-7; 3$.

б) Дано логарифмическое уравнение:
$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 10x + 10) = 0$
По определению логарифма, это уравнение эквивалентно следующему:
$x^2 - 10x + 10 = (\frac{1}{3})^0$
$x^2 - 10x + 10 = 1$
Перенесем 1 влево:
$x^2 - 10x + 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.
В нашем случае:
$x_1 + x_2 = 10$
$x_1 \cdot x_2 = 9$
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.
Проверка: $1 + 9 = 10$ и $1 \cdot 9 = 9$.
Оба корня являются решением, так как выражение под логарифмом оказывается равным 1, что удовлетворяет области допустимых значений ($1>0$).

Ответ: $1; 9$.

в) Дано логарифмическое уравнение:
$\log_7(x^2 - 12x + 36) = 0$
Согласно определению логарифма:
$x^2 - 12x + 36 = 7^0$
$x^2 - 12x + 36 = 1$
Выражение в левой части является полным квадратом: $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$.
Получаем уравнение:
$(x - 6)^2 = 1$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$x - 6 = 1$ или $x - 6 = -1$
Решаем каждое из двух линейных уравнений:
1) $x - 6 = 1 \implies x_1 = 7$
2) $x - 6 = -1 \implies x_2 = 5$
Область допустимых значений исходного логарифмического уравнения: $x^2 - 12x + 36 > 0$, то есть $(x-6)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=6$. Найденные корни $x=5$ и $x=7$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: $5; 7$.

г) Дано логарифмическое уравнение:
$\log_{12}(x^2 - 8x + 16) = 0$
Используя определение логарифма, преобразуем уравнение:
$x^2 - 8x + 16 = 12^0$
$x^2 - 8x + 16 = 1$
Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
Уравнение принимает вид:
$(x - 4)^2 = 1$
Извлекая квадратный корень, получаем два случая:
$x - 4 = 1$ или $x - 4 = -1$
Находим корни:
1) $x - 4 = 1 \implies x_1 = 5$
2) $x - 4 = -1 \implies x_2 = 3$
Область допустимых значений: $x^2 - 8x + 16 > 0$, или $(x-4)^2 > 0$, что верно для всех $x \ne 4$. Наши корни $x=3$ и $x=5$ не равны 4, следовательно, являются решениями.

Ответ: $3; 5$.