Номер 44.6, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.6, страница 180.

44.6 a) $\log_{2}^{2}x - 4\log_{2}x + 3 = 0;$

б) $\log_{4}^{2}x - \log_{4}x - 2 = 0;$

в) $\log_{\frac{1}{2}}^{2}x + 3\log_{\frac{1}{2}}x + 2 = 0;$

г) $\log_{0.2}^{2}x + \log_{0.2}x - 6 = 0.$

а) Исходное уравнение: $log_2^2 x - 4\log_2 x + 3 = 0$.
Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение принимает вид: $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 4$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 3$. Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 1$, то $\log_2 x = 1$, откуда $x = 2^1 = 2$.
2) Если $t = 3$, то $\log_2 x = 3$, откуда $x = 2^3 = 8$.
Оба корня $x=2$ и $x=8$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $2; 8$.

б) Исходное уравнение: $\log_4^2 x - \log_4 x - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\log_4 x$. ОДЗ: $x > 0$.
Пусть $t = \log_4 x$. Уравнение преобразуется к виду: $t^2 - t - 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 1$ и $t_1 \cdot t_2 = -2$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Вернемся к исходной переменной:
1) Если $t = 2$, то $\log_4 x = 2$, откуда $x = 4^2 = 16$.
2) Если $t = -1$, то $\log_4 x = -1$, откуда $x = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Оба корня $x=16$ и $x=1/4$ принадлежат ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{4}; 16$.

в) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3\log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$.
Уравнение является квадратным относительно $\log_{\frac{1}{2}} x$. ОДЗ: $x > 0$.
Введем замену $t = \log_{\frac{1}{2}} x$. Получим уравнение: $t^2 + 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$. Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.
Сделаем обратную замену:
1) Если $t = -1$, то $\log_{\frac{1}{2}} x = -1$, откуда $x = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
2) Если $t = -2$, то $\log_{\frac{1}{2}} x = -2$, откуда $x = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
Корни $x=2$ и $x=4$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $2; 4$.

г) Исходное уравнение: $\log_{0,2}^2 x + \log_{0,2} x - 6 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\log_{0,2} x$. ОДЗ: $x > 0$.
Пусть $t = \log_{0,2} x$. Тогда получим: $t^2 + t - 6 = 0$.
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -1$ и $t_1 \cdot t_2 = -6$. Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 2$, то $\log_{0,2} x = 2$, откуда $x = (0,2)^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.
2) Если $t = -3$, то $\log_{0,2} x = -3$, откуда $x = (0,2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$.
Оба корня $x=1/25$ и $x=125$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{25}; 125$.