Номер 44.12, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.12, страница 181.

44.12 a) $\log_x (2x^2 + x - 2) = 3;$

б) $\log_{x-1} (12x - x^2 - 19) = 3.$

а)

Дано логарифмическое уравнение $\log_x(2x^2 + x - 2) = 3$.
По определению логарифма, $\log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. Применим это к нашему уравнению. Но сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ:
1. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: $2x^2 + x - 2 > 0$.

Теперь преобразуем исходное уравнение, используя определение логарифма:
$2x^2 + x - 2 = x^3$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:
$x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$
Решим это уравнение методом группировки:
$(x^3 - 2x^2) - (x - 2) = 0$
$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
$(x^2 - 1)(x - 2) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0$
Отсюда получаем три возможных корня: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:
- $x_1 = 1$: не удовлетворяет условию $x \neq 1$.
- $x_2 = -1$: не удовлетворяет условию $x > 0$.
- $x_3 = 2$: удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$. Проверим второе условие ОДЗ: $2(2^2) + 2 - 2 = 2 \cdot 4 + 0 = 8$. Так как $8 > 0$, условие выполняется.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=2$.
Ответ: 2

б)

Дано логарифмическое уравнение $\log_{x-1}(12x - x^2 - 19) = 3$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: $x-1 > 0$ и $x-1 \neq 1$. Отсюда $x > 1$ и $x \neq 2$.
2. Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: $12x - x^2 - 19 > 0$. Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 - 12x + 19 < 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 12x + 19 = 0$.
Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 144 - 76 = 68$.
Корни: $x = \frac{12 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 6 \pm \sqrt{17}$.
Так как ветви параболы $y=x^2 - 12x + 19$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 12x + 19 < 0$ выполняется между корнями: $6 - \sqrt{17} < x < 6 + \sqrt{17}$.

Объединим все условия ОДЗ: $x > 1$, $x \neq 2$ и $6 - \sqrt{17} < x < 6 + \sqrt{17}$.
Поскольку $4 < \sqrt{17} < 5$, то $1 < 6 - \sqrt{17} < 2$. Таким образом, общая ОДЗ: $x \in (6 - \sqrt{17}; 2) \cup (2; 6 + \sqrt{17})$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма:
$12x - x^2 - 19 = (x-1)^3$
Раскроем куб разности: $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
$12x - x^2 - 19 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
Перенесем все члены в правую часть:
$x^3 - 3x^2 + x^2 + 3x - 12x - 1 + 19 = 0$
$x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$
Решим это уравнение методом группировки:
$(x^3 - 2x^2) - (9x - 18) = 0$
$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$
$(x^2 - 9)(x - 2) = 0$
$(x - 3)(x + 3)(x - 2) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$, $x_3 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ: $x \in (6 - \sqrt{17}; 2) \cup (2; 6 + \sqrt{17})$.
- $x_1 = 3$: Проверим, входит ли 3 в ОДЗ. $6 - \sqrt{17} \approx 6 - 4.12 = 1.88$ и $6 + \sqrt{17} \approx 6 + 4.12 = 10.12$. Неравенство $1.88 < 3 < 10.12$ верно, и $3 \neq 2$. Значит, $x=3$ является корнем.
- $x_2 = -3$: не удовлетворяет условию $x > 1$.
- $x_3 = 2$: не удовлетворяет условию $x \neq 2$.

Таким образом, решением уравнения является только $x=3$.
Ответ: 3