Номер 44.17, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.17, страница 182.

44.17 a) $x^{1+\log_3 x} = 9;$

б) $x^{\log_{0.5} x-2} = 0.125;$

В) $x^{5+\log_2 x} = \frac{1}{16};$

Г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x-4} = 27.$

а) $x^{1+\log_3 x} = 9$

Данное уравнение является показательно-логарифмическим. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x > 0$, так как $x$ является основанием степени и аргументом логарифма.

Для решения прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, так как в показателе степени находится логарифм по основанию 3.

$\log_3(x^{1+\log_3 x}) = \log_3(9)$

Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^p) = p \cdot \log_a(b)$:

$(1+\log_3 x) \cdot \log_3 x = \log_3(3^2)$

$(1+\log_3 x) \cdot \log_3 x = 2$

Введем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$(1+t)t = 2$

$t + t^2 = 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а их сумма равна -1. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 1$, то $\log_3 x = 1$. Отсюда $x = 3^1 = 3$.

2. Если $t_2 = -2$, то $\log_3 x = -2$. Отсюда $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба найденных значения $x=3$ и $x=\frac{1}{9}$ положительны, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3, \frac{1}{9}$.

б) $x^{\log_{0,5} x - 2} = 0,125$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем правую часть уравнения: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Так как основание логарифма в показателе степени равно 0,5, представим $\frac{1}{8}$ как степень 0,5: $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3 = (0,5)^3$.

Уравнение принимает вид:

$x^{\log_{0,5} x - 2} = (0,5)^3$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0,5:

$\log_{0,5}(x^{\log_{0,5} x - 2}) = \log_{0,5}((0,5)^3)$

$(\log_{0,5} x - 2) \cdot \log_{0,5} x = 3$

Пусть $t = \log_{0,5} x$. Уравнение становится квадратным:

$(t-2)t = 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполняем обратную замену:

1. Если $t_1 = 3$, то $\log_{0,5} x = 3$. Отсюда $x = (0,5)^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

2. Если $t_2 = -1$, то $\log_{0,5} x = -1$. Отсюда $x = (0,5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

Оба корня $x=\frac{1}{8}$ и $x=2$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{8}, 2$.

в) $x^{5+\log_2 x} = \frac{1}{16}$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим правую часть как степень с основанием 2: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.

$x^{5+\log_2 x} = 2^{-4}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2:

$\log_2(x^{5+\log_2 x}) = \log_2(2^{-4})$

$(5+\log_2 x) \cdot \log_2 x = -4$

Пусть $t = \log_2 x$.

$(5+t)t = -4$

$t^2 + 5t + 4 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$.

Обратная замена:

1. Если $t_1 = -1$, то $\log_2 x = -1$. Отсюда $x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

2. Если $t_2 = -4$, то $\log_2 x = -4$. Отсюда $x = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.

Оба корня $x=\frac{1}{2}$ и $x=\frac{1}{16}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{1}{16}$.

г) $x^{\log_{1/3} x - 4} = 27$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{1}{3}$: $27 = 3^3 = ((\frac{1}{3})^{-1})^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$.

$x^{\log_{1/3} x - 4} = (\frac{1}{3})^{-3}$

Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{1}{3}$:

$\log_{1/3}(x^{\log_{1/3} x - 4}) = \log_{1/3}((\frac{1}{3})^{-3})$

$(\log_{1/3} x - 4) \cdot \log_{1/3} x = -3$

Пусть $t = \log_{1/3} x$.

$(t-4)t = -3$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Обратная замена:

1. Если $t_1 = 1$, то $\log_{1/3} x = 1$. Отсюда $x = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.

2. Если $t_2 = 3$, то $\log_{1/3} x = 3$. Отсюда $x = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

Оба корня $x=\frac{1}{3}$ и $x=\frac{1}{27}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{3}, \frac{1}{27}$.