Номер 44.23, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.23, страница 182.

Решите уравнение:

44.23 a) $\log_9(3^x + 2x - 20) = x - x\log_9 3;$

б) $0,4^{\lg^2 x - 1} = 6,25^{-2 - \lg x^2}.$

а) $\log_9(3^x + 2x - 20) = x - x\log_9 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием положительности аргумента логарифма:

$3^x + 2x - 20 > 0$

Преобразуем правую часть уравнения. Вынесем $x$ за скобки и представим $1$ как логарифм по основанию 9:

$x - x\log_9 3 = x(1 - \log_9 3) = x(\log_9 9 - \log_9 3) = x\log_9\frac{9}{3} = x\log_9 3$

Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, получаем:

$x\log_9 3 = \log_9 3^x$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$\log_9(3^x + 2x - 20) = \log_9 3^x$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$3^x + 2x - 20 = 3^x$

Вычитаем $3^x$ из обеих частей:

$2x - 20 = 0$

$2x = 20$

$x = 10$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Подставим $x=10$ в неравенство:

$3^{10} + 2 \cdot 10 - 20 > 0$

$3^{10} > 0$

Это неравенство верно, так как показательная функция с положительным основанием всегда положительна. Значит, $x=10$ является решением.

Ответ: $10$

---

б) $0.4^{\lg^2 x - 1} = 6.25^{-2 - \lg x^2}$

Найдем ОДЗ. Аргументы десятичных логарифмов должны быть положительными:

$x > 0$ и $x^2 > 0$. Второе условие означает $x \neq 0$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем основания степеней к одному числу. Заметим, что $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ и $6.25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$.

Поскольку $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$, приведем оба основания к $\frac{5}{2}$.

Левая часть:

$0.4^{\lg^2 x - 1} = ((\frac{5}{2})^{-1})^{\lg^2 x - 1} = (\frac{5}{2})^{-(\lg^2 x - 1)} = (\frac{5}{2})^{1 - \lg^2 x}$

Правая часть:

$6.25^{-2 - \lg x^2} = ((\frac{5}{2})^2)^{-2 - \lg x^2} = (\frac{5}{2})^{2(-2 - \lg x^2)} = (\frac{5}{2})^{-4 - 2\lg x^2}$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{5}{2})^{1 - \lg^2 x} = (\frac{5}{2})^{-4 - 2\lg x^2}$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$1 - \lg^2 x = -4 - 2\lg x^2$

Используем свойство логарифма $\lg x^2 = 2\lg x$ (это справедливо, так как по ОДЗ $x > 0$):

$1 - \lg^2 x = -4 - 2(2\lg x)$

$1 - \lg^2 x = -4 - 4\lg x$

Для решения этого уравнения введем замену. Пусть $t = \lg x$. Тогда $\lg^2 x = t^2$.

$1 - t^2 = -4 - 4t$

Перенесем все члены в правую сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим это уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $4$, а произведение равно $-5$. Корни:

$t_1 = 5$

$t_2 = -1$

Теперь выполним обратную замену.

1) Если $t = 5$, то $\lg x = 5$. Отсюда $x = 10^5 = 100000$.

2) Если $t = -1$, то $\lg x = -1$. Отсюда $x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба найденных корня, $100000$ и $0.1$, положительны, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0.1; 100000$