Номер 45.2, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.2, страница 183.

45.2 a) $\log_{\frac{1}{3}} x \le 2;$

б) $\log_{\frac{1}{2}} x \ge -3;$

в) $\log_{0.2} x < 3;$

г) $\log_{0.1} x > -\frac{1}{2}.$

а)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x \le 2$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

Представим число 2 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:

$2 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$\log_{\frac{1}{3}} x \le \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$.

Так как основание $\frac{1}{3} < 1$, переходим к неравенству для аргументов, меняя знак на противоположный:

$x \ge \frac{1}{9}$.

3. Итоговое решение: Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы должны удовлетворить системе неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \ge \frac{1}{9} \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge \frac{1}{9}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{9}, +\infty)$.

б)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x \ge -3$.

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства изменится на противоположный.

Представим -3 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:

$-3 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} (2^3) = \log_{\frac{1}{2}} 8$.

Перепишем исходное неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x \ge \log_{\frac{1}{2}} 8$.

Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, переходим к неравенству для аргументов с изменением знака:

$x \le 8$.

3. Итоговое решение: Необходимо учесть ОДЗ. Решаем систему:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \le 8 \end{cases}$

Решением системы является интервал $0 < x \le 8$.

Ответ: $x \in (0, 8]$.

в)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{0.2} x < 3$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $a = 0.2 = \frac{1}{5}$. Так как $0 < 0.2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства при переходе к аргументам меняется.

Представим 3 как логарифм по основанию 0.2:

$3 = \log_{0.2} (0.2)^3 = \log_{0.2} (0.008)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.2} x < \log_{0.2} (0.008)$.

Поскольку основание $0.2 < 1$, меняем знак неравенства:

$x > 0.008$.

3. Итоговое решение: Совмещаем с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x > 0.008 \end{cases}$

Решением системы является $x > 0.008$.

Ответ: $x \in (0.008, +\infty)$.

г)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{0.1} x > -\frac{1}{2}$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Основание логарифма $a = 0.1 = \frac{1}{10}$. Так как $0 < 0.1 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный.

Представим $-\frac{1}{2}$ как логарифм по основанию 0.1:

$-\frac{1}{2} = \log_{0.1} \left(0.1\right)^{-\frac{1}{2}}$.

Вычислим значение аргумента: $(0.1)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-\frac{1}{2}} = (10^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}$.

Неравенство можно записать так:

$\log_{0.1} x > \log_{0.1} \sqrt{10}$.

Поскольку основание $0.1 < 1$, меняем знак неравенства:

$x < \sqrt{10}$.

3. Итоговое решение: Совмещаем с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x < \sqrt{10} \end{cases}$

Решением системы является двойное неравенство $0 < x < \sqrt{10}$.

Ответ: $x \in (0, \sqrt{10})$.