Номер 45.8, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.8, страница 184.

45.8 a) $log_8(x^2 - 7x) > 1$;

б) $log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0,5x) \leq 1$;

В) $log_2(x^2 - 6x + 24) < 4$;

Г) $log_{\frac{1}{3}}(-x^2 + \frac{10x}{9}) \geq 2$.

а) Решим неравенство $ \log_{8}(x^2 - 7x) > 1 $.
Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$ x^2 - 7x > 0 $
$ x(x - 7) > 0 $
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) $.
2. Решим само неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 8: $ 1 = \log_{8}(8) $.
$ \log_{8}(x^2 - 7x) > \log_{8}(8) $
Так как основание логарифма $ 8 > 1 $, функция является возрастающей, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:
$ x^2 - 7x > 8 $
$ x^2 - 7x - 8 > 0 $
Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 7x - 8 = 0 $ через дискриминант:
$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2 $
$ x_1 = \frac{7 - 9}{2} = -1 $
$ x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8 $
Парабола $ y = x^2 - 7x - 8 $ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $ > 0 $ выполняется вне корней: $ x \in (-\infty, -1) \cup (8, \infty) $.
3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
Решение: $ x \in (-\infty, -1) \cup (8, \infty) $.
ОДЗ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (7, \infty) $.
Пересекая эти два множества, получаем: $ x \in (-\infty, -1) \cup (8, \infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -1) \cup (8, \infty) $.

б) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0,5x) \le 1 $.
1. Найдем ОДЗ:
$ x^2 + 0,5x > 0 $
$ x(x + 0,5) > 0 $
Методом интервалов получаем: $ x \in (-\infty, -0,5) \cup (0, \infty) $.
2. Решим неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 1/2: $ 1 = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) $.
$ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0,5x) \le \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) $
Так как основание логарифма $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $, функция является убывающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$ x^2 + 0,5x \ge \frac{1}{2} $
$ x^2 + 0,5x - 0,5 \ge 0 $
Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:
$ 2x^2 + x - 1 \ge 0 $
Найдем корни уравнения $ 2x^2 + x - 1 = 0 $:
$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $
$ x_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $
$ x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 $
Парабола $ y = 2x^2 + x - 1 $ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $ \ge 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty, -1] \cup [0,5, \infty) $.
3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
Решение: $ x \in (-\infty, -1] \cup [0,5, \infty) $.
ОДЗ: $ x \in (-\infty, -0,5) \cup (0, \infty) $.
Пересечением является $ x \in (-\infty, -1] \cup [0,5, \infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -1] \cup [0,5, \infty) $.

в) Решим неравенство $ \log_{2}(x^2 - 6x + 24) < 4 $.
1. Найдем ОДЗ:
$ x^2 - 6x + 24 > 0 $
Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 36 - 96 = -60 $.
Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то выражение $ x^2 - 6x + 24 $ положительно при любых $x$.
Следовательно, ОДЗ: $ x \in (-\infty, \infty) $.
2. Решим неравенство. Представим 4 как логарифм по основанию 2: $ 4 = \log_{2}(2^4) = \log_{2}(16) $.
$ \log_{2}(x^2 - 6x + 24) < \log_{2}(16) $
Так как основание $ 2 > 1 $, знак неравенства сохраняется:
$ x^2 - 6x + 24 < 16 $
$ x^2 - 6x + 8 < 0 $
Найдем корни уравнения $ x^2 - 6x + 8 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 4 $.
Парабола $ y = x^2 - 6x + 8 $ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $ < 0 $ выполняется между корнями: $ x \in (2, 4) $.
3. Так как ОДЗ — все действительные числа, решение совпадает с решением последнего неравенства.
Ответ: $ x \in (2, 4) $.

г) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{3}}(-x^2 + \frac{10x}{9}) \ge 2 $.
1. Найдем ОДЗ:
$ -x^2 + \frac{10x}{9} > 0 $
Умножим на -9, изменив знак неравенства:
$ 9x^2 - 10x < 0 $
$ x(9x - 10) < 0 $
Корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = \frac{10}{9} $. Парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $ < 0 $ выполняется между корнями: $ x \in (0, \frac{10}{9}) $.
2. Решим неравенство. Представим 2 как логарифм по основанию 1/3: $ 2 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^2) = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9}) $.
$ \log_{\frac{1}{3}}(-x^2 + \frac{10x}{9}) \ge \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9}) $
Так как основание $ 0 < \frac{1}{3} < 1 $, знак неравенства меняется на противоположный:
$ -x^2 + \frac{10x}{9} \le \frac{1}{9} $
Умножим на 9:
$ -9x^2 + 10x \le 1 $
$ 0 \le 9x^2 - 10x + 1 $
$ 9x^2 - 10x + 1 \ge 0 $
Найдем корни уравнения $ 9x^2 - 10x + 1 = 0 $:
$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $
$ x_1 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} $
$ x_2 = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1 $
Парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $ \ge 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty, \frac{1}{9}] \cup [1, \infty) $.
3. Найдем пересечение решения с ОДЗ.
Решение: $ x \in (-\infty, \frac{1}{9}] \cup [1, \infty) $.
ОДЗ: $ x \in (0, \frac{10}{9}) $.
Пересекая эти два множества, получаем: $ x \in (0, \frac{1}{9}] \cup [1, \frac{10}{9}) $.
Ответ: $ x \in (0, \frac{1}{9}] \cup [1, \frac{10}{9}) $.