Номер 45.9, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.9, страница 184.

45.9 a) $\log^2_2 x > 4 \log_2 x - 3;$

Б) $\log^2_{\frac{1}{2}} x + 3\log_{\frac{1}{2}} x < -2;$

В) $\log^2_4 x + \log_4 x \le 2;$

Г) $\log^2_{0.2} x \ge 6 - \log_{0.2} x.$

а) $ \log_2^2 x > 4 \log_2 x - 3 $

1. Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$ \log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 > 0 $

2. Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: $ x > 0 $.

3. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_2 x $. Неравенство примет вид:
$ t^2 - 4t + 3 > 0 $

4. Решим квадратное неравенство относительно $t$. Найдем корни уравнения $ t^2 - 4t + 3 = 0 $.
По теореме Виета, $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 3 $.
Парабола $ y = t^2 - 4t + 3 $ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $ t < 1 $ или $ t > 3 $.

5. Выполним обратную замену:
$ \log_2 x < 1 $ или $ \log_2 x > 3 $.

6. Решим полученные логарифмические неравенства:
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется.
Из $ \log_2 x < 1 $ следует $ x < 2^1 $, то есть $ x < 2 $.
Из $ \log_2 x > 3 $ следует $ x > 2^3 $, то есть $ x > 8 $.

7. Учитывая ОДЗ ($ x > 0 $), получаем окончательное решение:
$ 0 < x < 2 $ или $ x > 8 $.

Ответ: $ x \in (0; 2) \cup (8; +\infty) $

б) $ \log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x < -2 $

1. Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$ \log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 < 0 $

2. ОДЗ: $ x > 0 $.

3. Сделаем замену. Пусть $ t = \log_{\frac{1}{2}} x $. Неравенство примет вид:
$ t^2 + 3t + 2 < 0 $

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $ t^2 + 3t + 2 = 0 $.
По теореме Виета, $ t_1 = -2 $, $ t_2 = -1 $.
Парабола $ y = t^2 + 3t + 2 $ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $ -2 < t < -1 $.

5. Выполним обратную замену:
$ -2 < \log_{\frac{1}{2}} x < -1 $

6. Решим двойное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $ \frac{1}{2} < 1 $, знаки неравенства меняются на противоположные:
$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} < x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} $
$ 2 < x < 4 $

7. Решение $ 2 < x < 4 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x \in (2; 4) $

в) $ \log_4^2 x + \log_4 x \le 2 $

1. Перенесем все члены в левую часть:
$ \log_4^2 x + \log_4 x - 2 \le 0 $

2. ОДЗ: $ x > 0 $.

3. Сделаем замену. Пусть $ t = \log_4 x $. Получим неравенство:
$ t^2 + t - 2 \le 0 $

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $ t^2 + t - 2 = 0 $ равны $ t_1 = -2 $, $ t_2 = 1 $.
Парабола $ y = t^2 + t - 2 $ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая их): $ -2 \le t \le 1 $.

5. Выполним обратную замену:
$ -2 \le \log_4 x \le 1 $

6. Решим двойное неравенство. Основание логарифма $4 > 1$, поэтому знаки неравенства сохраняются:
$ 4^{-2} \le x \le 4^1 $
$ \frac{1}{16} \le x \le 4 $

7. Решение $ \frac{1}{16} \le x \le 4 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x \in \left[\frac{1}{16}; 4\right] $

г) $ \log_{0,2}^2 x \ge 6 - \log_{0,2} x $

1. Перенесем все члены в левую часть:
$ \log_{0,2}^2 x + \log_{0,2} x - 6 \ge 0 $

2. ОДЗ: $ x > 0 $.

3. Сделаем замену. Пусть $ t = \log_{0,2} x $. Получим неравенство:
$ t^2 + t - 6 \ge 0 $

4. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $ t^2 + t - 6 = 0 $ равны $ t_1 = -3 $, $ t_2 = 2 $.
Парабола $ y = t^2 + t - 6 $ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $ t \le -3 $ или $ t \ge 2 $.

5. Выполним обратную замену:
$ \log_{0,2} x \le -3 $ или $ \log_{0,2} x \ge 2 $.

6. Решим полученные неравенства. Основание логарифма $ 0,2 < 1 $, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные.
Из $ \log_{0,2} x \le -3 $ следует $ x \ge (0,2)^{-3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125 $.
Из $ \log_{0,2} x \ge 2 $ следует $ x \le (0,2)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} $.

7. Учитывая ОДЗ ($ x > 0 $), получаем:
$ x \ge 125 $ или $ 0 < x \le \frac{1}{25} $.

Ответ: $ x \in \left(0; \frac{1}{25}\right] \cup [125; +\infty) $