Номер 45.14, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.14, страница 185.

45.14 Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:

a) $ \log_7(6x - 9) < \log_7(2x + 3); $

б) $ \log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4); $

в) $ \lg(8x - 16) < \lg(3x + 1); $

г) $ \log_{0,4}(7 - x) \ge \log_{0,4}(3x + 6). $

а) $\log_{7}(6x - 9) < \log_{7}(2x + 3)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:
$\begin{cases} 6x - 9 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x > 9 \\ 2x > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.5 \\ x > -1.5 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 1.5$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $7 > 1$, то функция логарифма возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$6x - 9 < 2x + 3$
$6x - 2x < 3 + 9$
$4x < 12$
$x < 3$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 1.5 \\ x < 3 \end{cases} \implies 1.5 < x < 3$

Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, равно 2.
Ответ: 2

б) $\log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge \log_{\frac{1}{5}}(2x + 4)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2 - x > 0 \\ 2x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 2x > -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases}$
ОДЗ: $-2 < x < 2$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{5} < 1$, то функция логарифма убывающая, и знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:
$2 - x \le 2x + 4$
$-x - 2x \le 4 - 2$
$-3x \le 2$
$x \ge -\frac{2}{3}$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} -2 < x < 2 \\ x \ge -\frac{2}{3} \end{cases} \implies -\frac{2}{3} \le x < 2$

Целые числа, входящие в этот промежуток: 0, 1. Наибольшее из них - 1.
Ответ: 1

в) $\lg(8x - 16) < \lg(3x + 1)$

1. Найдем ОДЗ. $\lg$ - это логарифм по основанию 10.
$\begin{cases} 8x - 16 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x > 16 \\ 3x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases}$
ОДЗ: $x > 2$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$8x - 16 < 3x + 1$
$8x - 3x < 1 + 16$
$5x < 17$
$x < \frac{17}{5}$ или $x < 3.4$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 2 \\ x < 3.4 \end{cases} \implies 2 < x < 3.4$

Наибольшее целое число в этом интервале равно 3.
Ответ: 3

г) $\log_{0.4}(7 - x) \ge \log_{0.4}(3x + 6)$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 7 - x > 0 \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ 3x > -6 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ x > -2 \end{cases}$
ОДЗ: $-2 < x < 7$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0 < 0.4 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$7 - x \le 3x + 6$
$-x - 3x \le 6 - 7$
$-4x \le -1$
$x \ge \frac{1}{4}$ или $x \ge 0.25$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} -2 < x < 7 \\ x \ge 0.25 \end{cases} \implies 0.25 \le x < 7$

Целые числа, входящие в этот промежуток: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них - 6.
Ответ: 6