Номер 45.17, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.17, страница 185.

45.17 a) $ \begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125 - \log_3 5, \\ \log_{0,2}(x - 1) < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7, \\ \log_3(4x - 1) > 0. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125 - \log_3 5, \\ \log_{0,2}(x - 1) < 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\log_3 x^2 > \log_3 125 - \log_3 5$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием $x^2 > 0$, что эквивалентно $x \ne 0$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ для правой части неравенства:
$\log_3 125 - \log_3 5 = \log_3 \frac{125}{5} = \log_3 25$.
Неравенство принимает вид: $\log_3 x^2 > \log_3 25$.
Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$x^2 > 25$
$x^2 - 25 > 0$
$(x-5)(x+5) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$. Данное решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

2. Решим второе неравенство: $\log_{0,2}(x - 1) < 0$.
ОДЗ: $x - 1 > 0$, откуда $x > 1$.
Представим 0 в виде логарифма с основанием 0,2: $0 = \log_{0,2} 1$.
Неравенство принимает вид: $\log_{0,2}(x - 1) < \log_{0,2} 1$.
Так как основание логарифма $0,2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 1 > 1$
$x > 2$.
С учетом ОДЗ ($x > 1$), решением является $x \in (2; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств системы.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$.
Решение второго неравенства: $x \in (2; \infty)$.
Общим решением системы является пересечение этих множеств: $(-\infty; -5) \cup (5; \infty) \cap (2; \infty) = (5; \infty)$.

Ответ: $x \in (5; \infty)$.

б)

Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7, \\ \log_3(4x - 1) > 0. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7$.
ОДЗ: $x^2 > 0$, откуда $x \ne 0$.
Упростим правую часть неравенства: $\log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{28}{7} = \log_{\frac{1}{2}} 4$.
Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 4$.
Так как основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 \le 4$
$x^2 - 4 \le 0$
$(x-2)(x+2) \le 0$
Решением этого неравенства является отрезок $[-2; 2]$.
Учитывая ОДЗ ($x \ne 0$), получаем решение первого неравенства: $x \in [-2; 0) \cup (0; 2]$.

2. Решим второе неравенство: $\log_3(4x - 1) > 0$.
ОДЗ: $4x - 1 > 0$, откуда $x > \frac{1}{4}$.
Представим 0 как логарифм с основанием 3: $0 = \log_3 1$.
Неравенство принимает вид: $\log_3(4x - 1) > \log_3 1$.
Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:
$4x - 1 > 1$
$4x > 2$
$x > \frac{1}{2}$.
Решение $x > \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > \frac{1}{4}$), следовательно, решением второго неравенства является $x \in (\frac{1}{2}; \infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Решение первого неравенства: $x \in [-2; 0) \cup (0; 2]$.
Решение второго неравенства: $x \in (\frac{1}{2}; \infty)$.
Пересечение этих множеств: $([-2; 0) \cup (0; 2]) \cap (\frac{1}{2}; \infty) = (\frac{1}{2}; 2]$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; 2]$.