Номер 45.15, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.15, страница 185.
№45.15 (с. 185)
Условие. №45.15 (с. 185)
скриншот условия

45.15 Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
а) $\log_{12}(x^2 - x) \le 1;$
б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0;$
в) $\log_9(x^2 - 8x) \le 1;$
г) $\log_{0,3}(-x^2 + 7x - 5) < 0?$
Решение 1. №45.15 (с. 185)

Решение 2. №45.15 (с. 185)



Решение 5. №45.15 (с. 185)



Решение 6. №45.15 (с. 185)
а) $\log_{12}(x^2 - x) \le 1$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
Корни $x=0$ и $x=1$. Решением неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.
2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $12 > 1$, функция является возрастающей, и при потенцировании знак неравенства сохраняется. Представим 1 как $\log_{12}(12)$:
$\log_{12}(x^2 - x) \le \log_{12}(12)$
$x^2 - x \le 12$
$x^2 - x - 12 \le 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$. Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-3, 4]$.
3. Найдем пересечение с ОДЗ. Пересечение множеств $[-3, 4]$ и $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ дает нам итоговое решение: $x \in [-3, 0) \cup (1, 4]$.
4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В промежутке $[-3, 0)$ находятся целые числа: -3, -2, -1 (3 решения). В промежутке $(1, 4]$ находятся целые числа: 2, 3, 4 (3 решения).
Всего: $3 + 3 = 6$ целочисленных решений.
Ответ: 6.
б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0$
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 - 10x + 9 > 0$
$(x-1)(x-9) > 0$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty)$.
2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Представим 0 как $\log_{\frac{1}{2}}(1)$:
$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge \log_{\frac{1}{2}}(1)$
$x^2 - 10x + 9 \le 1$
$x^2 - 10x + 8 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 8 = 0$ через дискриминант: $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} = 5 \pm \sqrt{17}$. Решением неравенства является отрезок $x \in [5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}]$.
3. Найдем пересечение с ОДЗ. Оценим значения границ: $4^2=16, 5^2=25$, значит $4 < \sqrt{17} < 5$. Тогда $0 < 5 - \sqrt{17} < 1$ и $9 < 5 + \sqrt{17} < 10$. Пересечение множеств $[5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}]$ и $(-\infty, 1) \cup (9, \infty)$ дает нам $x \in [5 - \sqrt{17}, 1) \cup (9, 5 + \sqrt{17}]$.
4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В промежутке $[5 - \sqrt{17}, 1)$ нет целых чисел. В промежутке $(9, 5 + \sqrt{17}]$ также нет целых чисел.
Неравенство не имеет целочисленных решений.
Ответ: 0.
в) $\log_9(x^2 - 8x) \le 1$
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 - 8x > 0$
$x(x-8) > 0$
ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.
2. Решим неравенство. Основание $9>1$, знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 8x \le 9^1$
$x^2 - 8x - 9 \le 0$
Корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 9$. Решение неравенства: $x \in [-1, 9]$.
3. Найдем пересечение с ОДЗ. Пересечение $[-1, 9]$ и $(-\infty, 0) \cup (8, \infty)$ дает $x \in [-1, 0) \cup (8, 9]$.
4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В промежутке $[-1, 0)$ есть одно целое число: -1. В промежутке $(8, 9]$ есть одно целое число: 9.
Всего: $1 + 1 = 2$ целочисленных решения.
Ответ: 2.
г) $\log_{0.3}(-x^2 + 7x - 5) < 0$
1. Найдем ОДЗ:
$-x^2 + 7x - 5 > 0$
$x^2 - 7x + 5 < 0$
Корни уравнения $x^2 - 7x + 5 = 0$ равны $x = \frac{7 \pm \sqrt{49-20}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2}$. ОДЗ: $x \in (\frac{7 - \sqrt{29}}{2}, \frac{7 + \sqrt{29}}{2})$.
2. Решим неравенство. Основание $0.3 < 1$, знак неравенства меняется:
$-x^2 + 7x - 5 > (0.3)^0$
$-x^2 + 7x - 5 > 1$
$-x^2 + 7x - 6 > 0$
$x^2 - 7x + 6 < 0$
Корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ равны $x_1=1, x_2=6$. Решение неравенства: $x \in (1, 6)$.
3. Найдем пересечение с ОДЗ. Оценим ОДЗ: $5 < \sqrt{29} < 6$, поэтому $0.5 < \frac{7 - \sqrt{29}}{2} < 1$ и $6 < \frac{7 + \sqrt{29}}{2} < 6.5$. Интервал $(1, 6)$ полностью содержится в интервале ОДЗ $(\frac{7 - \sqrt{29}}{2}, \frac{7 + \sqrt{29}}{2})$, поэтому решение: $x \in (1, 6)$.
4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В интервале $(1, 6)$ находятся целые числа: 2, 3, 4, 5.
Всего 4 целочисленных решения.
Ответ: 4.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 45.15 расположенного на странице 185 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №45.15 (с. 185), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.