Номер 45.15, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. §45. Логарифмические неравенства - номер 45.15, страница 185.

Условие.

45.15 Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $\log_{12}(x^2 - x) \le 1;$

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0;$

в) $\log_9(x^2 - 8x) \le 1;$

г) $\log_{0,3}(-x^2 + 7x - 5) < 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) $\log_{12}(x^2 - x) \le 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - x > 0$

$x(x - 1) > 0$

Корни $x=0$ и $x=1$. Решением неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $12 > 1$, функция является возрастающей, и при потенцировании знак неравенства сохраняется. Представим 1 как $\log_{12}(12)$:

$\log_{12}(x^2 - x) \le \log_{12}(12)$

$x^2 - x \le 12$

$x^2 - x - 12 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$. Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-3, 4]$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ. Пересечение множеств $[-3, 4]$ и $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ дает нам итоговое решение: $x \in [-3, 0) \cup (1, 4]$.

4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В промежутке $[-3, 0)$ находятся целые числа: -3, -2, -1 (3 решения). В промежутке $(1, 4]$ находятся целые числа: 2, 3, 4 (3 решения).

Всего: $3 + 3 = 6$ целочисленных решений.

Ответ: 6.

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge 0$

1. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 10x + 9 > 0$

$(x-1)(x-9) > 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Представим 0 как $\log_{\frac{1}{2}}(1)$:

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 10x + 9) \ge \log_{\frac{1}{2}}(1)$

$x^2 - 10x + 9 \le 1$

$x^2 - 10x + 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 8 = 0$ через дискриминант: $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2} = 5 \pm \sqrt{17}$. Решением неравенства является отрезок $x \in [5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}]$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ. Оценим значения границ: $4^2=16, 5^2=25$, значит $4 < \sqrt{17} < 5$. Тогда $0 < 5 - \sqrt{17} < 1$ и $9 < 5 + \sqrt{17} < 10$. Пересечение множеств $[5 - \sqrt{17}, 5 + \sqrt{17}]$ и $(-\infty, 1) \cup (9, \infty)$ дает нам $x \in [5 - \sqrt{17}, 1) \cup (9, 5 + \sqrt{17}]$.

4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В промежутке $[5 - \sqrt{17}, 1)$ нет целых чисел. В промежутке $(9, 5 + \sqrt{17}]$ также нет целых чисел.

Неравенство не имеет целочисленных решений.

Ответ: 0.

в) $\log_9(x^2 - 8x) \le 1$

1. Найдем ОДЗ:

$x^2 - 8x > 0$

$x(x-8) > 0$

ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.

2. Решим неравенство. Основание $9>1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 8x \le 9^1$

$x^2 - 8x - 9 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 9$. Решение неравенства: $x \in [-1, 9]$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ. Пересечение $[-1, 9]$ и $(-\infty, 0) \cup (8, \infty)$ дает $x \in [-1, 0) \cup (8, 9]$.

4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В промежутке $[-1, 0)$ есть одно целое число: -1. В промежутке $(8, 9]$ есть одно целое число: 9.

Всего: $1 + 1 = 2$ целочисленных решения.

Ответ: 2.

г) $\log_{0.3}(-x^2 + 7x - 5) < 0$

1. Найдем ОДЗ:

$-x^2 + 7x - 5 > 0$

$x^2 - 7x + 5 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 7x + 5 = 0$ равны $x = \frac{7 \pm \sqrt{49-20}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2}$. ОДЗ: $x \in (\frac{7 - \sqrt{29}}{2}, \frac{7 + \sqrt{29}}{2})$.

2. Решим неравенство. Основание $0.3 < 1$, знак неравенства меняется:

$-x^2 + 7x - 5 > (0.3)^0$

$-x^2 + 7x - 5 > 1$

$-x^2 + 7x - 6 > 0$

$x^2 - 7x + 6 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ равны $x_1=1, x_2=6$. Решение неравенства: $x \in (1, 6)$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ. Оценим ОДЗ: $5 < \sqrt{29} < 6$, поэтому $0.5 < \frac{7 - \sqrt{29}}{2} < 1$ и $6 < \frac{7 + \sqrt{29}}{2} < 6.5$. Интервал $(1, 6)$ полностью содержится в интервале ОДЗ $(\frac{7 - \sqrt{29}}{2}, \frac{7 + \sqrt{29}}{2})$, поэтому решение: $x \in (1, 6)$.

4. Подсчитаем количество целочисленных решений. В интервале $(1, 6)$ находятся целые числа: 2, 3, 4, 5.

Всего 4 целочисленных решения.

Ответ: 4.