Номер 45.12, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.12, страница 184.

45.12 a) $2 \log_{5}^{2} x + 5 \log_{5} x + 2 \ge 0;$

б) $2 \log_{0,3}^{2} x - 7 \log_{0,3} x - 4 \le 0;$

в) $3 \log_{4}^{2} x - 7 \log_{4} x + 2 < 0;$

г) $3 \log_{\frac{1}{3}}^{2} x + 5 \log_{\frac{1}{3}} x - 2 > 0.$

а) Решим неравенство $2\log_5^2 x + 5\log_5 x + 2 \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Неравенство примет вид:

$2t^2 + 5t + 2 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 + 5t + 2 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни $t_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = -2$ и $t_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Парабола $y=2t^2+5t+2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2t^2 + 5t + 2 \ge 0$ выполняется, когда $t \le -2$ или $t \ge -\frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$\log_5 x \le -2$ или $\log_5 x \ge -\frac{1}{2}$.

Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $y = \log_5 x$ возрастающая, поэтому знаки неравенств сохраняются при переходе к аргументам:

$x \le 5^{-2}$ или $x \ge 5^{-1/2}$.

$x \le \frac{1}{25}$ или $x \ge \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательное решение: $0 < x \le \frac{1}{25}$ или $x \ge \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{25}] \cup [\frac{\sqrt{5}}{5}; +\infty)$.

б) Решим неравенство $2\log_{0,3}^2 x - 7\log_{0,3} x - 4 \le 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_{0,3} x$. Неравенство примет вид:

$2t^2 - 7t - 4 \le 0$.

Найдем корни уравнения $2t^2 - 7t - 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
Корни $t_1 = \frac{7 - \sqrt{81}}{4} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{7 + \sqrt{81}}{4} = \frac{7 + 9}{4} = 4$.

Парабола $y=2t^2-7t-4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2t^2 - 7t - 4 \le 0$ выполняется, когда $-\frac{1}{2} \le t \le 4$.

Выполним обратную замену:

$-\frac{1}{2} \le \log_{0,3} x \le 4$.

Так как основание логарифма $0,3 < 1$, функция $y = \log_{0,3} x$ убывающая, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные при переходе к аргументам:

$(0,3)^4 \le x \le (0,3)^{-1/2}$.

$(0,3)^4 = (\frac{3}{10})^4 = \frac{81}{10000} = 0,0081$.

$(0,3)^{-1/2} = (\frac{3}{10})^{-1/2} = (\frac{10}{3})^{1/2} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$.

Таким образом, $0,0081 \le x \le \frac{\sqrt{30}}{3}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in [0,0081; \frac{\sqrt{30}}{3}]$.

в) Решим неравенство $3\log_4^2 x - 7\log_4 x + 2 < 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство примет вид:

$3t^2 - 7t + 2 < 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 - 7t + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.
Корни $t_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Парабола $y=3t^2-7t+2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $3t^2 - 7t + 2 < 0$ выполняется, когда $\frac{1}{3} < t < 2$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{3} < \log_4 x < 2$.

Так как основание логарифма $4 > 1$, функция $y = \log_4 x$ возрастающая, знаки неравенств сохраняются:

$4^{1/3} < x < 4^2$.

$\sqrt[3]{4} < x < 16$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (\sqrt[3]{4}; 16)$.

г) Решим неравенство $3\log_{1/3}^2 x + 5\log_{1/3} x - 2 > 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_{1/3} x$. Неравенство примет вид:

$3t^2 + 5t - 2 > 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 + 5t - 2 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Корни $t_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = -2$ и $t_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Парабола $y=3t^2+5t-2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $3t^2 + 5t - 2 > 0$ выполняется, когда $t < -2$ или $t > \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену:

$\log_{1/3} x < -2$ или $\log_{1/3} x > \frac{1}{3}$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{1/3} x$ убывающая, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные:

$x > (\frac{1}{3})^{-2}$ или $x < (\frac{1}{3})^{1/3}$.

$x > 3^2$ или $x < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

$x > 9$ или $x < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательное решение: $x > 9$ или $0 < x < \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{\sqrt[3]{3}}) \cup (9; +\infty)$.