Номер 45.7, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.7, страница 184.

45.7 a) $\log_{\frac{1}{2}}(6 - x) \ge \log_{\frac{1}{2}}x^2;$

б) $\log_{0,3}(x^2 + 22) < \log_{0,3} 13x;$

в) $\log_{\frac{1}{4}}(-x - 6) \le \log_{\frac{1}{4}}(6 - x^2);$

г) $\log_{0,5}(x^2 - 27) > \log_{0,5} 6x.$

а)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(6 - x) \geqslant \log_{\frac{1}{2}}x^2$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} x < 6 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 6)$.

Основание логарифма равно $\frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$6 - x \leqslant x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 + x - 6 \geqslant 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + x - 6 \geqslant 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; \infty)$.

На последнем шаге необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\left( (-\infty; -3] \cup [2; \infty) \right) \cap \left( (-\infty; 0) \cup (0; 6) \right)$

Рассматривая пересечение на числовой оси, получаем итоговое решение: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [2; 6)$.

б)

Дано неравенство $\log_{0,3}(x^2 + 22) < \log_{0,3} 13x$.

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x^2 + 22 > 0 \\ 13x > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + 22 > 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \geqslant 0$. Второе неравенство $13x > 0$ дает $x > 0$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $0,3$ меньше 1, поэтому логарифмическая функция убывающая. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 22 > 13x$

$x^2 - 13x + 22 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 22 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение 22. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 11$.

Парабола $y = x^2 - 13x + 22$ имеет ветви вверх, значит, неравенство $x^2 - 13x + 22 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 2) \cup (11; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (0; +\infty)$:

$\left( (-\infty; 2) \cup (11; +\infty) \right) \cap (0; +\infty) = (0; 2) \cup (11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (11; +\infty)$.

в)

Дано неравенство $\log_{\frac{1}{4}}(-x - 6) \leqslant \log_{\frac{1}{4}}(6 - x^2)$.

Найдем ОДЗ из условия положительности аргументов логарифмов:

$\begin{cases} -x - 6 > 0 \\ 6 - x^2 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} -x > 6 \\ x^2 < 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -6 \\ -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} \end{cases}$

Поскольку $-\sqrt{6} \approx -2,45$, условие $x < -6$ и условие $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ не могут выполняться одновременно. Система не имеет решений.

Область допустимых значений является пустым множеством. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

г)

Дано неравенство $\log_{0,5}(x^2 - 27) > \log_{0,5} 6x$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 - 27 > 0 \\ 6x > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} x^2 > 27 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \in (-\infty; -3\sqrt{3}) \cup (3\sqrt{3}; +\infty) \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечение этих двух условий дает ОДЗ: $x \in (3\sqrt{3}; +\infty)$.

Основание логарифма $0,5$ меньше 1, поэтому логарифмическая функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 27 < 6x$

$x^2 - 6x - 27 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$. По теореме Виета, сумма корней 6, произведение -27. Корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 - 6x - 27$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x - 27 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-3; 9)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(-3; 9) \cap (3\sqrt{3}; +\infty)$.

Учтем, что $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$. Так как $5^2=25$ и $6^2=36$, то $5 < \sqrt{27} < 6$. Таким образом, $3\sqrt{3}$ находится внутри интервала $(-3; 9)$.

Пересечением является интервал $(3\sqrt{3}; 9)$.

Ответ: $x \in (3\sqrt{3}; 9)$.