Номер 45.4, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.4, страница 183.

45.4 a) $\log_5 x > \log_5 (3x - 4);$

В) $\log_{\frac{1}{3}} (5x - 9) \ge \log_{\frac{1}{3}} 4x;$

б) $\log_{0.6} (2x - 1) < \log_{0.6} x;$

Г) $\log_3 (8 - 6x) \le \log_3 2x.$

а) $\log_5 x > \log_5(3x - 4)$

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и свойство монотонности логарифмической функции.

1. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 3x - 4 > 0 \end{cases} $

Решим второе неравенство системы:

$3x > 4$

$x > \frac{4}{3}$

Пересекая условия $x > 0$ и $x > \frac{4}{3}$, получаем общую ОДЗ: $x > \frac{4}{3}$.

2. Решим само неравенство. Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x > 3x - 4$

$4 > 3x - x$

$4 > 2x$

$2 > x$, или $x < 2$.

3. Найдем пересечение решения $x < 2$ с ОДЗ $x > \frac{4}{3}$.

Получаем интервал $\frac{4}{3} < x < 2$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; 2)$.

б) $\log_{0,6}(2x - 1) < \log_{0,6} x$

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$.

Пересекая условия $x > \frac{1}{2}$ и $x > 0$, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $0,6$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$2x - 1 > x$

$2x - x > 1$

$x > 1$.

3. Найдем пересечение решения $x > 1$ с ОДЗ $x > \frac{1}{2}$.

Общим решением будет $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

в) $\log_{\frac{1}{3}}(5x - 9) \ge \log_{\frac{1}{3}}(4x)$

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 5x - 9 > 0 \\ 4x > 0 \end{cases} $

Решаем систему: $5x > 9 \implies x > \frac{9}{5}$ и $x > 0$.

Общая ОДЗ: $x > \frac{9}{5}$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому логарифмическая функция убывающая. Знак неравенства меняется на противоположный:

$5x - 9 \le 4x$

$5x - 4x \le 9$

$x \le 9$.

3. Найдем пересечение решения $x \le 9$ с ОДЗ $x > \frac{9}{5}$.

Получаем двойное неравенство $\frac{9}{5} < x \le 9$.

Ответ: $x \in (\frac{9}{5}; 9]$.

г) $\log_3(8 - 6x) \le \log_3(2x)$

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 8 - 6x > 0 \\ 2x > 0 \end{cases} $

Решаем систему: $8 > 6x \implies x < \frac{8}{6} \implies x < \frac{4}{3}$ и $x > 0$.

Общая ОДЗ: $0 < x < \frac{4}{3}$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$8 - 6x \le 2x$

$8 \le 2x + 6x$

$8 \le 8x$

$1 \le x$, или $x \ge 1$.

3. Найдем пересечение решения $x \ge 1$ с ОДЗ $0 < x < \frac{4}{3}$.

Получаем интервал $1 \le x < \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in [1; \frac{4}{3})$.