Номер 44.26, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§44. Логарифмические уравнения. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 44.26, страница 183.

44.26 $\log_x (3x - \sqrt{18}) + \log_{x^2} (6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

1. Основания логарифмов должны быть больше нуля и не равны единице:
$x > 0$ и $x \neq 1$.
Поскольку $x^2$ также является основанием, то $x^2 > 0$ и $x^2 \neq 1$, что приводит к тем же условиям $x > 0$ и $x \neq 1$ для положительных $x$.

2. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$3x - \sqrt{18} > 0$
$6 + x\sqrt{72} + 3x^2 > 0$

3. Из выражения в правой части следует, что знаменатель не равен нулю:
$\lg x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 10^0 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.

Решим неравенства для аргументов:
$3x - \sqrt{9 \cdot 2} > 0 \implies 3x - 3\sqrt{2} > 0 \implies 3x > 3\sqrt{2} \implies x > \sqrt{2}$.
Рассмотрим второе неравенство: $3x^2 + x\sqrt{36 \cdot 2} + 6 > 0 \implies 3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (6\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 72 - 72 = 0$. Это означает, что трехчлен является полным квадратом: $3(x + \sqrt{2})^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех $x \neq -\sqrt{2}$.

Объединяя все условия ($x > 0$, $x \neq 1$, $x > \sqrt{2}$, $x \neq -\sqrt{2}$), получаем итоговую ОДЗ: $x > \sqrt{2}$.

Теперь преобразуем исходное уравнение. Сначала упростим правую часть, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2} = \log_{x^2}(27x^2) = \log_{x^2}(27) + \log_{x^2}(x^2) = \log_{x^2}(3^3) + 1 = 3\log_{x^2}(3) + 1$.

Используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получим:
$3 \cdot \frac{1}{2}\log_x(3) + 1 = \frac{3}{2}\log_x(3) + 1$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения:
$\log_x (3x - \sqrt{18}) + \log_{x^2} (6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \log_x(3x - 3\sqrt{2}) + \log_{x^2}(3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6)$.

Мы уже выяснили, что $3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6 = 3(x+\sqrt{2})^2$. Подставим это в выражение:
$\log_x(3(x - \sqrt{2})) + \log_{x^2}(3(x+\sqrt{2})^2)$

Применим свойства логарифмов $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ и $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_x(3) + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}\log_x(3(x+\sqrt{2})^2)$
$\log_x(3) + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}[\log_x(3) + \log_x((x+\sqrt{2})^2)]$

Поскольку по ОДЗ $x > \sqrt{2}$, то $x+\sqrt{2} > 0$, и $\log_x((x+\sqrt{2})^2) = 2\log_x(x+\sqrt{2})$.
$\log_x(3) + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}[\log_x(3) + 2\log_x(x+\sqrt{2})] = \log_x(3) + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}\log_x(3) + \log_x(x+\sqrt{2})$
$\frac{3}{2}\log_x(3) + (\log_x(x - \sqrt{2}) + \log_x(x+\sqrt{2})) = \frac{3}{2}\log_x(3) + \log_x((x - \sqrt{2})(x+\sqrt{2})) = \frac{3}{2}\log_x(3) + \log_x(x^2 - 2)$.

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:
$\frac{3}{2}\log_x(3) + \log_x(x^2 - 2) = \frac{3}{2}\log_x(3) + 1$.

$\log_x(x^2 - 2) = 1$.

По определению логарифма:
$x^2 - 2 = x^1$
$x^2 - x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его корни по теореме Виета или через дискриминант равны:
$x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > \sqrt{2} \approx 1.414$):
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > \sqrt{2}$, следовательно, является решением уравнения.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > \sqrt{2}$, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: 2.